万有引力的推导
作者:老司机
摘要
很多中学生以为已知开普勒三大定律就能推导出牛顿万有引力定律,其实并不是如此.仅仅依靠开普勒三定律是没有办法推导出牛顿万有引力
方程的.为了解开这个误区,今天就让我们一起来探索牛顿万有引力方
程是如何推导出来的吧.233
关键词:万有引力定律,比耐公式,开普勒定律,理论力学,物理拔高,毁梗用的
1基本物理概念
首先我们要引入角动量L与力矩M这个概念.
定义角动量的表达式:
L=r×p
定义力矩的表达式:
M=r×F
力矩和角动量之间有如下关系:
L=dM dt
证明:我们已知牛顿第二定律F=ma=m dv
dt
,两边同时对牛顿第二定律叉
乘r.得：
r×F=mr×dv dt
我们知道乘积求导有这样的一个关系:
(ab) =a b+ab ,d(ab)
dt
=
da
dt
b+a
db
dt 1
把这个关系带入之前的式子:
r×F=mr×dv
dt
=m
d(r×v)
dt
−mv×
dr
dt
我们知道v=dr
dt ,所以上式最后一项是mv×dr
dt
=mv×v=0
这样我们就得到了关系式L=r×F=d(r×mv)
dt =dM
dt
角动量定理:
L=dM dt
我们现在知道了角动量和力矩的概念后我们就可以开始去探索如何推导出牛顿万有引力方程了.
2比耐公式
首先我们先看看在一般的中心力场中的规律.
所谓中心力场,就是满足F=F(r) r
r
这样的力场,比如万有引力只与距离r有关,我们把这种只与距离有关而与其他无关(比如角度θ,φ)的力场叫做中心力场.中心力场中运动的物体一定是在一个平面内的轨迹.
图1:中心力场(力心在o点处)
根据牛顿第二定律：
F(r) r
r
=ma=m
d2 r
dt2
写成x,y分量形式.
m d2x
dt2
=F(r)
x
r
m d2y
dt2
=F(r)
y
r
2
把直角坐标和极坐标互化公式x=rcosθ,y=rsinθ带进去.得:
m(d2r
dt2
−r(
dθ
dt
)2)=F(r)(1)
m(r d2θ
dt2
+2
dr
dt
dθ
dt
)=0(2)
把(2)式凑全微分,得m1
r d
t
(r2dθ
dt
)=0,所以:
r2
dθ
dt
=Constant(3) mr2
dθ
dt
=Constant(4)
这样我们得到了中心力场的基本方程组
m(d2r
dt2
−r(
dθ
dt
)2)=F(r)(5) r2
dθ
dt
=C(6)
现在我们知道了在中心力场中的运动规律满足上面两个式子,那么我们对上面两个式子消去时间变量t就得到任意中心力场F(r)下的运动轨迹方程r= r(θ)(这是个极坐标方程).
我们已知r2dθ
dt =C,做变量代换,以u=1
r
代换.得
dθ
dt
=Cu2
dr dt =
dr
dθ
dθ
dt
=
d
dθ
(
1
u
)
dθ
dt
=−
1
u2
du
dθ
dθ
dt
=−C
du
dθ
d2r dt2=
d
dt
dr
dt
=
d
dr
(−C
du
dθ
)=
d
dθ
(−C
du
dθ
)
dθ
dt
=−C2u2
d2u
dθ2
把以上三式带入(5)式,得:
C2u2(d2u
dθ2
+u)=−
F
m
这就是所要求的轨道微分方程,通常叫做比耐公式,引力时,F为负号,斥力时F为正号.由这个方程可知,若我们已知中心力场具体轨道形式,便可以求出该中心力场的力的形式.
3
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万有引力定律
好了,咱们回到推导万有引力定律来.1609年,开普勒发表了他的三大定
律.
开普勒第一定律,行星绕太阳做椭圆运动,太阳位于椭圆的一个焦点上.开普勒第二定律,行星和太阳之间的连线,在相等时间内扫过的面积相等.开普勒第三定律,行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方成正比.首先看开普勒第二定律.
图2:开普勒第二定律
设A 是矢径扫过的面积,由开普勒第二定律,知道单位面积内,矢径所扫过的面积相等,即
dA
dt
=constant 现在来求dA dt 的表达式,P 1,P 2分别是行星沿着它轨道运动时的两个相邻位置,对太阳张开的角度为dθ,从P 1到P 2的时间是∆t ,在这一段时间内扫过的面
积∆A 为OP 1P 2.当∆t →0的时候,P 2→P 1,∆A 就近似的等于∆OP 1P 2的面积,即1
2
r (r ∆θ),所以.dA dt =lim ∆t →0∆A ∆t =lim ∆t →012r 2∆θ∆t =12r 2dθ
dt
或
2
dA dt =r 2dθ
dt
4
这个就是开普勒第二定律的数学表达式.现在我们考虑开普勒第一定律,我们已知行星轨道是椭圆轨道.椭圆的极坐标方程为:
r=
p
1+ecosθ
令u=1
r
u=1
p
+
e
p
cosθ
把这个式子带入比耐公式
F=−mC2u2(d2u
dθ2
+u)=−
mC2u2
p
=−
C2
p
m
r2
由于每个行星的C,p是不同的,所以我们还需要利用开普勒第三定律来确定C,p
两边对2dA
dt =r2dθ
dt
积分.积分范围是全周期.
2A=CT=2πab
T=
2πab
C
带入开普勒第三定律
T2 a3=
4π2b2
C2a
而
b2 a =
1
a
(a2−c2)=a(1−
c2
a2
)=a(1−e2)=p
即可以得到
C2 p =
4π2a3
T2
=k
由开普勒第三定律知k是一个常数.与行星位置、质量无关
F=−mk2 r2
令k2=GM
F(r)=−GMm r2
牛顿万有引力公式得到证明.
5。