解：（1）当 x＞0 时， x 1 2 x 1 2
x
x
当
x＜0
时，
x
1 x
x
1 x
∵x 1 2 x
x
1 x
2
∴
x
1 x
2
∴当 x 0 时， x 1 的最小值为 2；当 x 0 时， x 1 的最大值为-2；
x
x
（2）由 y x2 3x 16 x 16 3
x
常州市中天实验中学数学分式填空选择单元测试卷附答案
一、八年级数学分式填空题（难）
1．当 m
___________________时，关于
x
的分式方程
x
2
2
mx x2 4
x
3
2
无解
【答案】m=1、m=-4 或 m=6.
【解析】
【分析】
方程两边都乘以（x+2）（x-2）把分式方程化为整式方程，当分式方程有增根或分式方程
x
小值，再加上常数即可； （3）设 S△BOC=x，已知 S△AOB=4，S△COD=9，则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB： S△AOD，用含 x 的式子表示出 S△AOD，四边形 ABCD 的面积用含 x 的代数式表示出来，再按照 题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】
a 1
a 1
14．某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩 同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶).如果二人都做匀速运动,且男孩每分钟走 动的级数是女孩的两倍.又已知男孩走了 27 级到达顶部,女孩走了 18 级到达顶部(二人每步 都只跨 1 级). (1)扶梯在外面的部分有多少级. (2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯,台阶级数与扶梯级数相等,这两人各自到扶梯 顶部后按原速度走下楼梯,到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离).则男孩第一 次追上女孩时,他走了多少台阶? 【答案】(1)楼梯有 54 级(2) 198 级 【解析】 【试题分析】
详解：
（1）A=
a
1
a
3
1
a2
4a a 1
4
=
a 1a 1 3
a 1
a 22
a 1
=
a a
2 2
.
（2）变小了，理由ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ下：
AB
a2 a2
a5 a 1
a 2a 1 a 5a 2 a 2a 1
12
a 2a 1
.
∵a＞2
∴a-2＞0，a+1＞0，∴
A
B
a
12
2
a
1
＞0，即
A＞B
x y
=
x y
【点睛】 本题考查了多项式乘法和运用公式法进行因式分解，其中运用公式法进行因式分解是解答 本题的关键.
3．若解分式方程 x 1 m 产生增根，则 m＝_____． x4 m4
【答案】-5 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：根据分式方程增根的产生的条件，可知 x+4=0，解得 x=-4，然后把分式方程化 为整式方程 x-1=m，解得 m=-5 故答案为-5.
点睛：解分式方程的步骤为： 1、确定最简公分母； 2、方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； 3、解整式方程； 4、代入检验，确定是否为分式方程的解.
二、八年级数学分式解答题压轴题（难）
11．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当 a 0 ， b 0 时，∵ ( a b )2 a 2 ab b 0 ，∴ a b 2 ab ，当且仅当
式；反之，称为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，
如： x 1 x 1 2 x 1 2 1 2 ； x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
2x 3 2x 2 5 2x 2 5 2 ( 5 ) .
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1
（1）下列分式中，属于真分式的是：____________________（填序号）
4．方程 1 4 的解是_____． x x6
【答案】x＝2． 【解析】 【分析】 本题考查解分式方程的能力，观察可得最简公分母是 x（x+6），方程两边乘以最简公分 母，可以把分式方程化为整式方程，再求解． 【详解】 方程两边同乘以 x（x+6）， 得 x+6=4x， 解得 x=2． 经检验：x=2 是原方程的解． 【点睛】 此题考查了解分式方程.（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整 式方程解．（2）解分式方程一定注意要验根．
(3) 若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和.
【答案】（1） A a 2 ；（2）变小了，理由见解析；（3）符合条件的所有 a 值的和为 a2
11.
【解析】
分析：（1）分解因式，再通分化简.(2)用作差法比较二者大小关系.(3)先分离常数，再尝试
让分子能被分母整除.
【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25 【解析】 【分析】
（1）当 x＞0 时，按照公式 a+b≥2 ab （当且仅当 a=b 时取等号）来计算即可；x＜0 时， 由于-x＞0，- 1 ＞0，则也可以按照公式 a+b≥2 ab （当且仅当 a=b 时取等号）来计算；
x （2）将 y x2 3x 16 的分子分别除以分母，展开，将含 x 的项用题中所给公式求得最
分母次数，④分子分母次数一样，故选③.
（2） 4a 3 = 4a 2 5 2 5 ，故答案为 2， 2 5 ；
2a 1 2a 1 2a 1 2a 1
2a 1
（3） a2 3 = a2 1 4 (a 1)(a 1) 4 = a 1 4 ，故答案为 a+1+ 4 .
a 1 a 1
a 1 a 1
①a2； a 1
② x2 ； x 1
③
2b b2
3
；
④
a2 a2
3 1
.
（2）将假分式 4a 3 化成整式与真分式的和的形式为： 2a 1
4a 3
=______________+________________.
2a 1
（3）将假分式 a2 3 化成整式与真分式的和的形式： a 1
a2 3 =_____________+______________. a 1
x
x
当且仅当 x=6 时取等号，即四边形 ABCD 面积的最小值为 25．
【点睛】
本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性
质，本题难度中等略大．
12．已知分式 A= (a 1 3 ) a2 4a 4 .
a 1
a 1
(1) 化简这个分式；
(2) 当 a＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同．时．加上 3 后得到分式 B，问：分式 B 的 值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由.
【答案】(1)③；(2)2， 5 ；(3)a＋1＋ 4 .
2a 1
a 1
【解析】
试题分析：（1）认真阅读题意，体会真分式的特点，然后判断即可；
（2）根据题意的化简方法进行化简即可；
（3）根据题意的化简方法进行化简即可.
试题解析：（1）①中的分子分母均为 1 次，②中分子次数大于分母次数，③分子次数小于
x x 20
10．方程
的解是_____________．
【答案】x=2
【解析】
试题分析：此题是分式方程的解法问题，先把方程两边同乘以 x-3，化为整式方程为 2-x=
（x-3）+1，再解这个整式方程求得 x=2，然后把 x=2 代入 x-3≠0，检验出 x=2 是原分式方程
的解即可.
故答案为：x=2.
把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得 m 的值． 【详解】 去分母得 3x-(x-2)=m+3， 当增根为 x=2 时，6=m+3 ∴m=3． 故答案为 3． 【点睛】 考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为 0 确定增根； ②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
式子)
（2）作商比较法：若 a＞0，b＞0，且 a 1，则 a＞b；若 a＜0，b＜0，且 a 1，则 a＜
b
b
b．
13．我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的
基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母
小的分数叫做真分数.类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分
化成的整式方程无解时原分式方程无解，根据这两种情形即可计算出 m 的值．
【详解】
解：方程两边都乘以（x+2）（x-2）去分母得，
2（x+2）+mx=3（x-2），
整理得（1-m）x=10，
∴当 m=1 时，此整式方程无解，所以原分式方程也无解.
又当原分式方程有增根时，分式方程也无解，
∴当 x=2 或-2 时原分式方程无解，
9．某市为治理污水，需要铺设一段全长 600 m 的污水排放管道，铺设 120 m 后，为加快 施工进度，后来每天比原计划多铺设 20 m，结果共用 8 天完成这一任务，则原计划每天铺 设管道的长度为_________． 【答案】60 m 【解析】
设原计划每天铺设 x m 管道，则加快施工进度后，每天铺设（ x 20 ）m，由题意可得， 120 600 120 8 ，解得： x 60 ，或 x 5 （舍去），故答案为：60 m．
x
∵x＞0，