设定ω。在设定的置信度C 下的最低回报率为R ,则ω。在该置信度C 下的最低期末价值为ω =ω。( 1 + R )(即ω 低于ω 的概率为1- C)。ω。的期末价值均值减去期末价值最低值, 就是该投资组合的潜在最大损失,即VaR。所以,一般意义上,
VaR = E(ω)-ω (1)
因为E(ω) = E[ω。(1 + R) ] = Eω。+ Eω。R =ω。+ω。μ
ω =ω。(1 + R )
所以(1) 式可变形为
VaR=ω。+ω。μ- ω。(1 + R ) =ω。(μ- R ) (2)
如果引入△t , 则在△t时间内的均值为μ△t，所以此时的
VaR =ω。(μ△t - R ) (3)
可见, 如果能求出某置信度C下的ω 或R ,即可求出某投资组合在该置信度下的VaR值。下面, 我们就分别对于ω和R不同的概率分布情况来分析ω 和R 的求法：
图2 : VaR 值的计算
每日收益
图2中共抽取了J P 摩根1994 年254 天的收益额作为样本。横轴表示样本中各个可能的日收益值, 纵轴表示每一个日收益值在1994 年出现的天数。例如, 依图所示, 1994 年, J.P.摩根日收益为500 万美元的有20天, 日收益为800 万美元的有17 天, 等等。经计算, 可得出平均日收益约为500 万美元, 即E(ω) = ＄500万,要想求95 %置信度下的VaR, 我们需要找一个ω , 使得ω低于ω 的概率为5%。在本例中, 就是要找一个ω , 使得低于ω 的ω出现的天数为254 ×5 % = 13 天。从图中可以看出, 这一ω = -＄1000 万。根据(1)式,
在全部金融风险中,市场风险和信用风险是最主要的两种。过去,在金融市场价格比较稳定的背景下,人们更多地注意的是金融市场的信用风险,而几乎不考虑市场风险的因素。例如, 70 年代的金融风险管理几乎全部是对信用风险的管理。然而,自70年代初布雷顿森林体系崩溃以来,浮动汇率制下汇率、利率等金融产品价格的变动日益趋向频繁和无序。80 年代以来金融创新及信息技术日新月异的发展,以及世界各国金融自由化的潮流使金融市场的波动更加剧烈由于分散金融风险的需要, 金融衍生工具（Financial derivative instrument）便应运而生并且得到了迅猛发展。人们通常所说的金融衍生工具,是指以杠杆或信用交易为特征,以货币、债券、股票等传统金融工具为基础而衍生发展出来的新金融产品。它既指一类特定的交易方式,也指由这种交易方式形成的一系列合约。金融期货、金融期权、远期外汇交易、利率互换等都属于衍生金融商品。1995 年,金融衍生工具的名义市场价值为70 万亿美元,相比之下,全球股票市场的市值仅为15 万亿美元。然而,随着全球经济的发展，金融业也越来越深入到各个领域，金融衍生工具的使用也涉及到各个方面，人们更多的是利用金融产品进行投资和货币升值，而不是单纯的期望保值。当金融衍生工具越来越多地被用于投机而不是保值的目的时,出于规避风险的需要而产生的金融衍生工具本身也就孕育着极大的风险。近年来美国奥伦治县政府破产案、巴林银行倒闭案、日本大和银行巨额交易亏损案等, 无不与金融衍生工具有关。于是,如何有效地控制金融市场尤其是金融衍生工具市场的市场风险,就成为银行和公司管理人员、投资人以及金融监管当局所面临的亟待解决的问题。金融衍生产品是一把“双刃剑”,它既是重要的风险规避工具,但是在实际操作中往往却适得其反。因此如何加强对金融衍生工具的风险监管成为值得关注的问题。在这个大背景下, VaR方法就应运而生了。
R～N (μ△t ,δ △t ).则 服从均值为0、方差为1的标准正态分布, 即： ～N (0,1) ,其概率密度函数为 (X) = 。
图3 : 标准正态分布下VaR值的计算
如图3所示, 如果R 服从正态分布, 要想求出给定置信度水平C 下的R , 只要利用标准正态分布表找到标准正态分布的一个上分位点 , 使得：
由于各种随机因素的存在,回报率R 可以看为一随机变量, 其年度均值和方差分别设为μ和δ,并设△t 为其持有年限。假设该投资组合每年收益均不相关, 则该投资组合回报率在△t 年内的均值和方差分别为μ△t 和δ △t。如果我们假定市场是有效的，资产在10天内的每日收益Rt分布相同且相互独立，则10日收益R（10）= 服从正态分布，均值 ，方差 （为10个相同但独立的正态分布的方差之和）。
表示组合P在 持有期内市场价值的变化。上述等式说明了损失值等于或大于VaR的概率是 ，或者可以说，在概率 下，损失值是大于VaR的。也可以说，VaR的具体定义为：在一定的持有期△t内，一定的置信水平1- 下投资组合P可能的最大损失。即：
Prob( -VaR) = 1-
例如，持有期为1天，置信水平为97.5%的VaR是10万元，是指在未来的24小时内组合价值的最大损失超过10万元的概率应该小于2.5%，如图1所示：
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金融风险管理的VaR方法及其应用
摘要：随着金融业的不断发展，金融风险管理愈发显得重要，运用何种方法去做科学的风险测度也逐渐成为热门领域，本文主要介绍最近受到金融业广泛认可的风险定量分析方法VaR（value at risk）。文章包括对VaR各个方面的介绍，希望能对这种重要的金融统计方法做个详细的介绍。由于VaR方法是统计学在金融领域的具体应用，所以本文也算是对金融与统计之间的互相渗透做某一方面的介绍。
1 - C = (6)
然后根据 - =
即可求出与置信度C 相对应的R 。
R = - +μ△t (7)
然后根据(3) 式, 得:
VaR =ω。(μ△t - R ) =ω。(μ△t + δ -μ△t)
=ω。 δ (8)
虽然在某些情况下ω 和R 服从正态分布这一假设可以用来近似计算VaR值, 但通过对实际数据的统计分析发现, 许多金融变量的概率密度函数图形的尾部要厚过正态分布的尾部。也就是说, 在现实中, 较极端的情况(如巨额盈利或巨额亏损) 发生的概率要高于标准正态分布所表明的概率。在这种情况下, 我们可以假设该随机变量服从自由度为n 的t分布。当n 较小时, t 分布的尾部要比标准正态分布肥大, 其尾部大小由自由度n 决定, 当n ∞时, t 分布的概率密度函数就等于标准正态分布的概率密度函数, 二者的尾部也就互相重合。表1 提供了1990 —1994 年各种金融资产日收益的t 分布参数估计值：
二、VaR的定义
在正常的市场条件和给定的置信度内，用于评估和计量任何一种金融资产或证券投资组合在既定时期内所面临的市场风险大小和可能遭受的潜在最大价值损失。比如，如果我们说某个敞口在99%的置信水平下的在险价值即VaR值为＄1000万，这意味着平均看来，在100个交易日内该敞口的实际损失超过＄1000万的只有1天（也即，每年有2～3天）。在数学上，VaR可表示为投资工具或组合的损益分布（P&L Distribution）的分位数（ —quantile）,表达式如下：
举例来说, J P 摩根1994 年年报披露, 1994 年该公司一天的95 %VaR 平均为1500 万美元。这一结果可以从反映J P 摩根1994 年日收益分布状况的图2中求出。下面以J.P.摩根公司1994年的资产组合日收益情况为例：
假定每日收益的分布是独立同分布的，我们可以找到在95%的置信水平下的VaR值，即下面的直方图中左侧5%临界点所对应的值。如图2所示，平均收益为＄500万，共有254个观察值，图中显示的是将日投资大小进行排序，并计算出每个损益发生的频数，得到的日损益分布的直方图。
VAR = E(ω)-ω = ＄500万- (- ＄1000万)= ＄1500万。
（从正态分布, 那么上述的VaR计算过程可以极大地简化为求该投资组合的标准差的计算, 过程如下:
设R 服从均值和方差分别为μ△t 和 △t的正态分布, 即：
（一）ω和R 的概率分布函数未知
在这种情况下, 无法知道某投资组合未来价值的概率密度函数f (ω) 的确切形式。但根据VaR的定义, 我们可以用下式来确定ω :
C = (4)
或 1 - C = (5)
(4) 、(5) 式表明, 在给定的置信度水平C 下, 我们可以找到ω , 使ω 高于ω 的概率为C 或使ω 低于ω 的概率为1 - C , 而不用求出具体的f (ω) 。这种方法适用于随机变量ω 为任何分布形式的情况。
Key Words:Var Financial risk management Monte-Carlo Simulation
一、VaR方法的产生
二战以后,随着全球经济活动的日趋国际化,各微观经济主体所处的经济、政治、社会环境日趋复杂,其运作也面临着日益多样且增大的风险。这一点在金融市场中的表现尤为突出。所谓金融风险,是指同经济活动中的不确定性所导致的资金在筹措和运用中产生损失的可能性。金融风险主要有如下几种类型: 市场风险,指由于金融资产或负债的市场价格波动而产生的风险;信用风险,指由于交易对方不履行合约或无力履行合约而产生的风险;操作风险,指由于无法进行预期的交易而产生的风险; 流动性风险,指由于金融市场流动性不足或金融交易者的资金流动性不足而产生的风险,等等。
关键词：VaR 金融风险管理 蒙特卡罗模拟
Abstract:With the continuous development of the financial industry, financial risk management is increasingly important, the use of scientific methods to do the risk measure also gradually become a hot field. In this paper, quantitative risk analysis method which is widely recognized by the financial industry is introduced, it is called VaR. This paragraph includes introduction on various aspects of the VaR, hope that such an important financial and statistical method can be introduced detailed. Because the VaR is a specific application of statistical used in financial field, so the article can also be treated as an introduction about one particular aspect of infiltration between finance and statistics.