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参数方程教案

教学过程 一、复习预习1.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y at x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 不参数) ② 在一般式②中,参数t 不具备标准式中t 的几何意义,若a 2+b 2=1,②即为标准式,此时, | t |表示直线上动点P 到定点P 0的距离;若a 2+b 2≠1,则动点P 到定点P 0的距离是22b a +|t |.直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y at x x sin cos 00 (t 为参数)若P 1、P 2是l 上的两点,它们所对应的参数分别为t 1,t 2,则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是(x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α); (2)|P 1P 2|=|t 1-t 2|;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ,则 t=221t t + 中点P 到定点P 0的距离|PP 0|=|t |=|221t t +| (4)若P 0为线段P 1P 2的中点,则t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b),半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角,φ∈[0,2π](见图)(2)椭圆 椭圆12222=+by a x (a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆 12222=+by a y (a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数)二、知识讲解考点1. 曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化。

(1)标准式 过点Po(x0,y 0),倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 不参数) ② 在一般式②中,参数t 不具备标准式中t 的几何意义,若a 2+b 2=1,②即为标准式,此时, | t |表示直线上动点P 到定点P 0的距离;若a 2+b 2≠1,则动点P 到定点P 0的距离是22b a +|t |.考点2极坐标系,曲线的极坐标方程,极坐标和直角坐标的互化(1)圆 圆心在(a,b),半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角,φ∈[0,2π](见图)(2)椭圆 椭圆12222=+by a x (a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)三、例题精析【例题1】【题干】在圆x 2+y 2-4x-2y-20=0上求两点A 和B ,使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.【答案】 将圆的方程化为参数方程:⎩⎨⎧+=+=θθsin 51cos 52y x (θ为参数) 则圆上点P 坐标为(2+5cos θ,1+5sin θ),它到所给直线之距离d=223430sin 15cos 120+++θθ故当cos(φ-θ)=1,即φ=θ时 ,d 最长,这时,点A 坐标为(6,4);当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时,d 最短,这时,点B 坐标为(-2,2). 【解析】曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化【例题2】【题干】极坐标方程ρ=θθcos sin 321++所确定的图形是( ) A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物线【答案】ρ=)6sin(1211)]cos 2123(1[21πθθ++⋅=++【解析】极坐标系,曲线的极坐标方程,极坐标和直角坐标的互化四、课堂运用【基础】 1. 椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x ( )A. (-3,5) , (-3,-3)B. (3,3) , (3,-5)C. (1,1) , (-7,1)D. (7,-1) , (-1,-1)答案:化为普通方程得125)1(9)3(22=++-y x ∴a 2=25,b 2=9,得c 2=16,c=4.∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)∴在xOy 坐标系中,两焦点坐标是(3,3)和(3,-5). 应选B.解析:极坐标系,曲线的极坐标方程,极坐标和直角坐标的互化2. 将参数方程⎩⎨⎧αα cos =-1- cos 2=y x (a 为参数)化成普通方程为( ).A .2x +y +1=0B .x +2y +1=0C .2x +y +1=0(-3≤x ≤1)D .x +2y +1=0(-1≤y ≤1)答案:D解析:将cos α=-y 代入x =2cos α-1,得普通方程x +2y +1=0,又因为-1≤cos α≤1,所以有-1≤y ≤1,故选D .【巩固】1. 参数方程表示)20()sin 1(212sin 2cos πθθθθ<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x A.双曲线的一支,这支过点(1,21) B.抛物线的一部分,这部分过(1,21) C.双曲线的一支,这支过(-1,21)D.抛物线的一部分,这部分过(-1,21)答案:由参数式得x 2=1+sin θ=2y(x >0)即y=21x 2(x >0).∴应选B. 解析:由参数式得x 2=1+sin θ=2y(x >0)即y=21x 2(x >0).∴应选B.2. 双曲线xy =1的参数方程是( ).A .⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧21-21==t y t xB .⎪⎩⎪⎨⎧t y tx sin 1= sin =C .⎪⎩⎪⎨⎧t y tx tan 1= tan =D .⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧t t t t y x --e +e 2=2+e =e答案:C解析:由xy =1知x ≠0且x ∈R ,又A 中x =21t =t ≥0;【拔高】 1. 在方程⎩⎨⎧==θθcos sin y x (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )A. (2,-7)B.(31,32)C. (21,21) D. (1,0)答案:y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x 2将x=21代入,得y=21∴应选C. 解析:y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x 2将x=21代入,得y=21∴应选C.2. 过椭圆C :⎪⎩⎪⎨⎧θθsin 3= 2cos y x =(θ 为参数)的右焦点F 作直线l 交C 于M ,N 两点,|MF |=m ,|NF |=n ,则nm 1+1的值为( ). A .32 B .34C .38D .不能确定答案:B解析:解析:曲线C 为椭圆 ,1 =3+422y x 右焦点F (1,0), 设l :⎩⎨⎧θθsin = cos =1+t y t x ,代入椭圆方程得:(3+sin 2θ)t 2+6tcos θ -9=0,t 1t 2=-θ2sin + 39,t 1+t 2=-θθ2sin + 3cos 6,∴34=4-+=-=1+1=1+12121221212121|t t |t t t t |t t ||t t ||t ||t |n m )(.课堂小结1.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 不参数) ② 在一般式②中,参数t 不具备标准式中t 的几何意义,若a 2+b 2=1,②即为标准式,此时, | t |表示直线上动点P 到定点P 0的距离;若a 2+b 2≠1,则动点P 到定点P 0的距离是22b a +|t |.直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数)若P 1、P 2是l 上的两点,它们所对应的参数分别为t 1,t 2,则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α); (2)|P 1P 2|=|t 1-t 2|;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ,则 t=221t t + 中点P 到定点P 0的距离|PP 0|=|t |=|221t t +| (4)若P 0为线段P 1P 2的中点,则 t 1+t 2=0.2.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ,从O 引一条射线Ox ,选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系,O 点叫做极点,射线Ox 叫 做极轴.①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,缺一不可.点的极坐标 设M 点是平面内任意一点,用ρ表示线段OM 的长度,θ表示射线Ox 到OM 的角度 ,那么ρ叫做M 点的极径,θ叫做M 点的极角,有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合; ②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x ytg y x θρ课后作业【基础】1. 曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化 成直角坐标方程为( )A.x 2+(y+2)2=4 B.x 2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y 2=4D.(x+2)2+y 2=4答案:将ρ=22y x +,sin θ=22y x y +代入ρ=4sin θ,得x 2+y 2=4y ,即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.解析:将ρ=22y x +,sin θ=22y x y +代入ρ=4sin θ,得x 2+y 2=4y ,即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.2. 直线⎩⎨⎧t y tx + 3=-- 2=(t 为参数)上与点A (2,-3)的距离等于1的点的坐标是( ).A .(1,-2)或(3,-4)B .(2-2,-3+2)或(2+2,-3-2)C .(2-22,-3+22)或(2+22,-3-22) D .(0,-1)或(4,-5) 答案:C解析:由(-t )2+(t )2=12,t =±22.【巩固】1. 极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是( )A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线答案:由4sin 2θ=3,得4·222yx y +=3,即y 2=3 x 2,y=±x 3,它表示两相交直线. ∴应选B.解析:由4sin 2θ=3,得4·222yx y +=3,即y 2=3 x 2,y=±x 3,它表示两相交直线. ∴应选B.2. 若点P (4,a )在曲线⎪⎩⎪⎨⎧ty t x 2=2=(t 为参数)上,点F (2,0),则|PF |等于( ).A .4B .5C .6D .7答案:C解析:抛物线为y 2=8x ,准线为x =-2,|PF |为P (4,a )到准线x =-2的距离,即6.【拔高】1. 下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎨⎧==t y t xB.⎩⎨⎧==t y t x 2cos cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y tgt x 2cos 12cos 1 D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y tgt x 2cos 12cos 1答案:普通方程x 2-y 中的x ∈R ,y ≥0,A.中x=|t |≥0,B.中x=cost ∈〔-1,1〕,故排除A.和B.C.中y=t t 22sin 2cos 2=ctg 2t=2211xt tg ==,即x 2y=1,故排除C.∴应选D 解析:曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化个性化教案2. 直线y =k x +2与曲线⎪⎩⎪⎨⎧ααsin 3= 2cos y x =至多一个交点的充要条件是( ). A .k ∈[-21,21] B .k ∈(-∞,-21]∪[21,+∞) C .k ∈[-22,22]D .k ∈(-∞,-22]∪[22,+∞)答案:A 解析:曲线的普通方程为1 =3+422y x .与直线方程联立,得一元二次方程.令判别式Δ≤0,得-21≤k ≤21.。

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