【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．
4. 等价转化，深入探究
问题：如果点 ,M的坐标分别为 ，怎样用参数 表示 ？
教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：
因为 ，（ ）， ，
，所以存在实数 ，使得 ，即
【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．
三、运用知识，培养能力
练习
例1.已知直线 与抛物线 交于A,B两点，求线段AB的长度和点 到A,B两点的距离之积．
先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：
解法一：由 ，得 ．
．
于是 ， ，
即 ， ．
因此，经过定点 ，倾斜角为 的直线的参数方程为
（ 为参数）．
教师提出如下问题让学生加强认识：
①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？
②参数 的取值范围是什么？
③参数 的几何意义是什么？
总结如下：① ， 是常量， 是变量；
② ；
③由于 ，且 ，得到 ，因此 表示直线上的动点M到定点 的距离．当 的方向与数轴（直线）正方向相同时， ；当 的方向与数轴（直线）正方向相反时， ；当 时，点M与点 重合．
2、直线参数方程探究
1．回顾数轴，引出向量
数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？
教师提问后，让学生思考并回答问题．
教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M的坐标为 ，那么：
① 为数轴的单位方向向量， 方向与数轴的正方向一致，且 ；②当 与 方向一致时（即 的方向与数轴正方向一致时）， ；
直线的参数方程
教学目标：
1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．
2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．
3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研
2.直线的方向向量的概念．
3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？直线的方程有几种形式？
4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．
5.如何建立直线的参数方程？
这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考．
【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备．
【设计意图】明确参数．
问题（2）：如何确定直线 的单位方向向量 ？
教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．
教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出 ．
的科学精神、严谨的科学态度．
教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．
教学难点：通过向量法，建立参数 （数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标 之间的联系．
教学方式：启发、探究、交流与讨论.
教学手段：多媒体课件．
教学过程：
一、回忆旧知，做好铺垫
教师提出问题：
1.圆，椭圆，双曲线，抛物线的参数方程．
【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．
探究：直线 （ 为参数）与曲线 交于 两点，对应的参数分别为 ．
（1）曲线的弦 的长是多少？
（2）线段 的中点M对应的参数 的值是多少？
先由学生思考，讨论，最后师生共同得到：
，
【设计意图】通过特殊到一般，及时让学生总结有关结论，为进一步应用打下基础，培养归纳、概括能力．
【设计意图】体会直线参数方程在解决弦中点问题时的作用．
四、课堂练习
2.已知过点 ，斜率为 的直线和抛物线 相交于A,B两点，设线段AB的中点为M，求点M的坐标．
解：设过点 的直线AB的倾斜角为 ，由已知可得： ， ．
所以，直线应参数是 ，
所以点M的坐标是 ．
【设计意图】注重知识的落实，通过问题的解决，使学生进一步理解所学知识．
设 ， ,由韦达定理得： ．
．
由（*）解得 ，
．
所以 ．
则
．
解法二、因为直线 过定点M，且 的倾斜角为 ，所以它的参数方程是
（ 为参数）， 即 （ 为参数）．
把它代入抛物线的方程，得 ，
解得 ， ．
由参数 的几何意义得： ，
．
在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．
【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．
3. 选好参数
问题（1）：当点M在直线 上运动时，点M满足怎样的几何条件？
让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线 当成数轴后，直线 上点M运动就等价于向量 变化，但无论向量怎样变化，都有 ．因此点M在数轴上的坐标 决定了点M的位置，从而可以选择 作为参数来获取直线 的参数方程．
当 与 方向相反时（即 的方向与数轴正方向相反时）， ；
当M与O重合时， ；
③ ．教师用几何画板软件演示上述过程．
【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．
2.类比分析，异曲同工
问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？
（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？
教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线 上的定点 为原点，与直线 平行且方向向上( 的倾斜角不为0时)或向右（ 的倾斜角为0时）的单位向量 确定直线 的正方向，同时在直线 上确定进行度量的单位长度，这时直线 就变成了数轴．于是，直线 上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．