高中数学选修2--1圆锥曲线基本知识点与典型题举例一、椭圆1.椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.第二定义: 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线l叫做椭圆的准线,常数e叫做椭圆的离心率.2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示)图形顶点 (,0)a ±,(0,)b ± (0,)a ±,(,0)b ±对称轴x 轴，y 轴，长轴长为2a ，短轴长为2b焦点1(,0)F c -、2(,0)F c 1(0,)F c -、2(0,)F c焦距焦距为122(0),F F c c => 222c a b =-离心率e =ca(0<e <1)例1. F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( )(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段例2. 已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( )(A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(1251622≠=+y y x例3. 若F (c ，0)是椭圆22221x y a b+=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于2M m+的点的坐标是( )(A)(c ，2b a±) 2()(,)b B c a -± (C)(0，±b ) (D)不存在例4 设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22x a+22y b =1(a >b >0)的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( )(A)2 (B)3 (C)2 (D)3例5. P点在椭圆1204522=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥，则P 点的坐标是 .例6. 写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; . (2)焦点坐标为)0,3(-,)0,3(,并且经过点(2，1); .(3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的31; ____.(4)离心率为23，经过点(2，0); .例7. 12F F 、是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ⋅的最大值是 ．二、双曲线 1.双曲线的定义：第一定义：平面内到两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定值2a (0<2a <|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.第二定义: 平面内到定点F 与到定直线l 的距离之比是常数e (e >1)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的准线,常数e 叫做双曲线的离心率例8 .命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于2a (a >0)；命题乙： 点P 的轨迹是双曲线。

则命题甲是命题乙的( )(A ) 充要条件 (B ) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也不必要条件例9 到定点的距离与到定直线的距离之比等于log 23的点的轨迹是（ ）(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线例10. 过点(2，-2)且与双曲线1222=-y x 有相同渐近线的双曲线的方程是( )(A)12422=-y x (B)12422=-x y (C)14222=-y x (D)14222=-x y例11. 双曲线221(1)x y n n-=>的两焦点为12,,F F P 在双曲线上,且满足12PF PF +=,则12F PF 的面积为( )()1A 1()2B ()2C ()4D例12 设ABC ∆的顶点)0,4(-A ，)0,4(B ，且C B A sin 21sin sin =-，则第三个顶点C 的轨迹方程是________.例13. 根据下列条件，求双曲线方程:⑴与双曲线221916x y -=有共同渐近线，且过点(-3，32)；⑵与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点(2).例14. 设双曲线2212y x -=上两点A 、B ，AB 中点M （1，2）求直线AB 方程；注：用两种方法求解（韦达定理法、点差法）三、.抛物线1.抛物线的定义:平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F不在l上).定点F叫做抛物线的焦点, 定直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示)标准方程22(0)y px p=>22(0)y px p=->22(0)x py p=>22(0)x py p=->图形对称轴x轴x轴y轴y轴焦点(,0)2pF (,0)2pF -(0,)2p F(0,)2p F -顶点 原点(0,0)准线 2p x =-2p x =2p y =-2p y =离心率 e =1注: 通径为2p ，这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦.例15. 顶点在原点，焦点是(0,2)-的抛物线方程是( ) (A )x 2=8y (B)x 2= 8y (C)y 2=8x(D)y 2=8x例16 抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )(A )1716(B)1516(C)78(D)0例17. 过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有( )(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条例18. 过抛物线2y ax=(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q 两点，若线段P F与FQ的长分别为p、q，则11+等于( )p q(A)2a(B)1(C)4a2a(D)4a例19 若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P 在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P点的坐标为( )1，1)(A)(3，3) (B)(2，2) (C)(2(D)(0，0)例20 动圆M过点F(0，2)且与直线y=-2相切，则圆心M的轨迹方程是 .例21 过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为y1、y2，则y1y2＝_________.例22 以抛物线x y23=-的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_____________.例23. 过点(-1,0)的直线l 与抛物线y 2=6x 有公共点，则直线l 的斜率的范围是 .例24 设0p >是一常数，过点(2,0)p Q 的直线与抛物线22y px =交于相异两点A 、B ，以线段A B 为直经作圆H （H 为圆心）。

(Ⅰ)试证:抛物线顶点在圆H 的圆周上； (Ⅱ)求圆H 的面积最小时直线A B 的方程.四、求点的轨迹问题如何求曲线(点的轨迹)方程,它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法（相关点法）外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。

因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。

求轨迹方程的一般步骤:建、设、现（限）、代、化.例25. 已知两点M （－2，0），N （2，0），点P 满足PM PN ⋅=12，则点P 的轨迹方程为（ ）22()116x A y += 22()16B x y += 22()8C y x -=22()8D x y +=例26. ⊙O 1与⊙O 2的半径分别为1和2，|O 1O 2|=4，动圆与⊙O 1内切而与⊙O 2外切，则动圆圆心轨迹是( )(A)椭圆(B)抛物线(C)双曲线 (D)双曲线的一支例27. 动点P在抛物线y2=-6x上运动,定点A(0,1),线段PA中点的轨迹方程是( )（A）(2y+1)2=-12x（B）(2y+1)2=12x （C）(2y-1)2=-12x（D）(2y-1)2=12x例28.过点A（2，0）与圆162=2x相内切的圆的圆心P的轨+y迹是（）（A）椭圆（B）双曲线（C）抛物线（D）圆例29. 已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(则动点的轨迹方程是( )(A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(1251622≠=+y y x例30. 椭圆13422=+y x 中斜率为34的平行弦中点的轨迹方程为 .例31. 已知动圆P 与定圆C: （x ＋2）2＋y 2＝１相外切，又与定直线l ：x ＝１相切,那么动圆的圆心P 的轨迹方程是______________._.五、圆锥曲线综合问题 直线与圆锥曲线的位置关系⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离. 直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0∆>、0∆=、0∆<.⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x yB x y ,则它的弦长12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-.注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。

2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法.3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。

例32. AB 为过椭圆2222by a x +=1中心的弦，F (c ，0)为椭圆的右焦点，则△AFB 的面积最大值是( )(A)b 2(B)ab (C)ac (D)bc例33 若直线y ＝kx ＋2与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）()A 315(-,)315 ()B 0(,)315()C 315(-,)0 ()D 315(-,)1-例34. 若双曲线x 2－y 2=1右支上一点P(a , b )到直线y =x 的距，则a ＋b 的值是( ).1()2A - 1()2B 1()2C -或12(D)2或－2例35 抛物线y =x 2上的点到直线2x - y =4的距离最近的点的坐标是( )11()(,)24A ) (B)(1,1) (C) (49,23)(D) (2,4)例36 抛物线y 2=4x 截直线2y x k =+所得弦长为35，则k 的值是( )(A )2 (B)-2 (C)4 (D)-4例37 如果直线)1(-=x k y 与双曲线422=-y x 没有交点，则k 的取值范围是 .例38 已知抛物线22x y =上两点),(),,(2211y x B y x A 关于直线m x y +=对称，且2121-=x x ，那么m 的值为 .例39 双曲线3x 2-y 2=1上是否存在关于直线y=2x 对称的两点A 、B 若存在，试求出A 、B 两点的坐标；若不存在，说明理由.高中数学选修2--1圆锥曲线 基本知识点与典型题举例答案 一、椭圆 例1. D 例2. B例3. C 先考虑M+m =2a ，然后用验证法. 例4. B ∵1212||||||||22sin15sin 751sin15sin 75sin15cos15PF PF PF PF c a+====︒︒︒+︒︒+︒，∴22c e a = 例5 (3,±4) 或(-3, ±4)例6. (1)1162522=+y x 或1251622=+y x ; (2) 13622=+y x ;(3)1922=+y x 或181922=+y x ; (4) 1422=+y x 或116422=+y x .例7. 12||||PF PF ⋅≤2212||||()42PF PF a +==二、双曲线： 例8. B 例9. C 例10. D例11. A 假设12PF PF >,由双曲线定义12PF PF -=且12PF PF +=解得12PF PF而12F F =由勾股定理得1212112PF F SPF PF =⋅= [点评]考查双曲线定义和方程思想.例12 )2(112422-<=-x y x例13.⑴设双曲线方程为22916x y λ-=(λ≠0),∴ 22(3)916λ--=∴ 14λ=,∴ 双曲线方程为221944x y -=;⑵设双曲线方程为221164x y k k -=-+16040k k ->⎛⎫ ⎪+>⎝⎭∴2221164k k -=-+,解之得k =4,∴ 双曲线方程为221128x y -=评注：与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程为2222x y a bλ-=(λ≠0)，当λ>0时，焦点在x 轴上；当λ<0时，焦点在y 轴上。