所以e= c = 1 .故选A.
a3
解法二:设OE的中点为N,由题意知|AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a,∵PF∥y轴,∴ | MF | =
| OE |
| AF | = a c ,
| AO | a
| MF | = | BF | = a c ,
| ON | | OB | a
评析 本题考查了直线与椭圆的位置关系,考查了直线方程和中点坐标公式.
6.(2014课标Ⅱ,20,12分,0.083)设F1,F2分别是椭圆C:
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点
且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为 3 ,求C的离心率;
图(1) 当点M运动到短轴的端点时,∠AMB取最大值,若∠AMB≥120°,则|MO|≤1,即0<m≤1; 当m>3时,椭圆C的长轴在y轴上,如图(2),A(0, m ),B(0,- m ),M( 3 ,0)
图(2)
当点M运动到短轴的端点时,∠AMB取最大值,若∠AMB≥120°,则|OA|≥3,即 m ≥3,即m≥9. 综上,m∈(0,1]∪[9,+∞),故选A.
4
A. 1
B. 1
C. 2
D. 3
3
2
3
4
答案 B 如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a·b ,所以e=c =1 .故
2
a2
选B.
易错警示 椭圆中心到直线l的距离为 ×2b= ,容易将短轴长误认为b. 评析 本题考查椭圆的基本知识,利用三角形的面积建立等量关系是求解的关键.
3m
AMB=120°,则m的取值范围是 ( ) A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0, 3 ]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0, 3 ]∪[4,+∞)
答案 A 本题考查圆锥曲线的几何性质. 当0<m<3时,椭圆C的长轴在x轴上,如图(1),A(- 3 ,0),B( 3 ,0),M(0, m ).
a 22 2
方法总结 求椭圆离心率的常用方法:
(1)求得a,c的值,直接代入e= c 求解.
a
(2)列出关于a,b,c的齐次方程,结合b2=a2-c2消去b,从而转化为关于e的方程求解.
2.(2018课标全国Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2 F1=60°,则C的离心率为 ( )
A.1- 3
2
B.2- 3
C. 3 1
2
D. 3 -1
答案 D 本题主要考查椭圆的定义和几何性质.
不妨设椭圆方程为
x a
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0).
在Rt△F1PF2中,因为∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,
所以|PF2|=c,|PF1|= 3 c.
由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,
易错警示 在求解本题时,要注意椭圆的长轴所在的坐标轴,题目中只说A、B为椭圆长轴的两 个端点,并未说明椭圆长轴所在的坐标轴,因此,要根据m与3的大小关系,讨论椭圆长轴所在的 坐标轴.
4.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短
轴长的 1 ,则该椭圆的离心率为 ( )
高考文数 (课标Ⅱ专用)
第十章 圆锥曲线
10.1 椭圆及其性质
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
考点一 椭圆的定义与标准方程
x2 y2
(2014大纲全国,9,5分)已知椭圆C:a2 +b2 =1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为 3 ,过F2
3
的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4 3 ,则C的方程为 ( )
x2 y2
A.3 + 2 =1
x2 y2
C1. 2 + 8 =1
x2
B.3 +y2=1
x2 y2
D1. 2
+
4
=1
答案
A
由椭圆的定义可知△AF1B的周长为4a,所以4a=4 3
,故a= 3
,又由e=c
a
3
=3
得c=1,
x2 y2
所以b2=a2-c2=2,则C的方程为 3 + 2 =1,故选A.
考点二 椭圆的几何性质
又∵ | MF | = | MF | ,即 a c = a c ,
| OE | 2 | ON | a 2a
∴a=3c,故e= c = 1 .
a3
思路分析 思路一:可设直线AE,BM的交点为M(-c,y0),记OE的中点为N,从而可以分别写出直 线AE,BM的方程,进而可以求出E点和N点的纵坐标,根据N是OE的中点,列出等式,消去y0即可 得到关于a,c的等式,由此求得离心率.思路二:由PF⊥x轴,易知Rt△BON∽Rt△BFM,及Rt△ AMF∽Rt△AEO,利用比例式,列出关于a,c的方程,求得离心率.
x2 y2
1.(2018课标全国Ⅰ,4,5分)已知椭圆C: a2 + 4 =1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为 ( )
1
1
2
22
A. 3 B. 2 C. 2
D. 3
答案 C 本题主要考查椭圆的方程及其几何性质. 由题意可知c=2,b2=4,∴a2=b2+c2=4+22=8,则a=2 2 , ∴e= c = 2 = 2 ,故选C.
5.(2016课标全国Ⅲ,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:
x a
2 2
+
y b
2 2
=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别
为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若
直线BM经过OE的中点,则C的离心率为 ( )
A. 1
B. 1
C. 2
即 3 c+c=2a,
所以椭圆的离心率e= c = 2 = 3 -1.故选D.
a 3 1
疑难突破 利用椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,结合题意得到a与c的等量关系是求解的关键,也是 难点的突破口.
3.(2017课标全国Ⅰ,12,5分)设A,B是椭圆C: x2 + y2 =1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠
D. 3
3
2
3
4
答案
A
解法一:设点M(-c,y0),OE的中点为N,则直线AM的斜率k=
y0 a
c
,从而直线AM的方程为
y=
a
y0
c
(x+a),令x=0,得点E的纵坐标yE=
ay0 ac
.
同理,OE的中点N的纵坐标yN=
ay0 ac
.
因为2yN=yE,所以
a
2
c
=
a
1
c
,
即2a-2c=a+c,