椭圆题型总结一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:PA+PB=2a>2c1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ ）A.椭圆B.圆C.直线D.线段3. 已知1F 、2F是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是( )A.椭圆B.圆C.直线D.点4. 已知1F 、2F 是平面α内的定点，并且)0(221>=c c F F ，M 是α内的动点，且a MF MF 221=+,判断动点M 的轨迹.5. 椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 。
(二) 标准方程求参数范围1. 若方程13522=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围.（3，4）U （4，5）2.轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( )A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3. 已知方程112522=-+-m y m x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是 .4. 已知方程222=+ky x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 5. 方程231y x -=所表示的曲线是 .6. 如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围。
7. 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。
8. 已知方程222=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 .(三) 待定系数法求椭圆的标准方程1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程.2. 以)0,2(1-F 和)0,2(2F 为焦点的椭圆经过点)2,0(A 点，则该椭圆的方程为 。
3. 如果椭圆：k y x =+224上两点间的最大距离为8，则k 的值为 。
4. 已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆3694:222=+y x C 的两个焦点一个正方形的四个顶点，且椭圆C 过点A （2，－3），求椭圆C 的方程。
5. 已知P 点在坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离为354和352，过点P 作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆方程。
6. 求适合下列条件的椭圆的标准方程（1） 长轴长是短轴长的2倍，且过点)6,2(-；（2） 在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.(四) 与椭圆相关的轨迹方程1. 已知动圆P 过定点)0,3(-A ，并且在定圆64)3(:22=+-y x B 的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.2. 一动圆与定圆032422=-++y y x 内切且过定点)2,0(A ，求动圆圆心P 的轨迹方程.3. 已知圆4)3(:221=++y x C ,圆100)3(:222=+-y x C ，动圆P 与1C 外切，与2C 内切，求动圆圆心P 的轨迹方程. 4.已知)0,21(-A ，B 是圆4)21(:22=+-y x F （F 为圆心）上一动点,线段AB 的垂直平分线交BF 于P ,则动点P 的轨迹方程为5. 已知ABC ∆三边AB 、BC 、AC 的长成等差数列，且,CA AB >点B 、C 的坐标)0,1(-、)0,1(，求点A 的轨迹方程.6. 一条线段AB 的长为a 2，两端点分别在x 轴、y 轴上滑动 ，点M 在线段AB 上，且2:1:=MB AM ,求点M 的轨迹方程.7. 已知椭圆的焦点坐标是)25,0(±，直线023:=--y x l 被椭圆截得线段中点的横坐标为21，求椭圆方程. 8. 若ABC ∆的两个顶点坐标分别是)6,0(B 和)6,0(-C ，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是94-，顶点A 的轨迹方程为 。
9. P 是椭圆12222=+by a x 上的任意一点，1F 、2F 是它的两个焦点，O 为坐标原点，，求动点的轨迹方程。
10. 已知圆922=+y x ，从这个圆上任意一点P 向x 轴引垂线段'PP ，垂足为'P ，点M在'PP 上，并且，求点的轨迹。
11. 已知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点向轴引垂线段，则线段的中点的轨迹方程是 。
12. 已知，，的周长为6，则的顶点C 的轨迹方程是。
13. 已知椭圆1452222=+y x ，A 、B 分别是长轴的左右两个端点，P 为椭圆上一个动点，求AP中点的轨迹方程。
14.(五) 焦点三角形4a1. 已知1F 、2F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点。
若1222=+B F A F ，则=AB 。
2. 已知1F 、2F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过2F 且斜率不为0的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ∆的周长是 。
3. 已知C AB ∆的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则C AB ∆的周长为 。
(六) 焦点三角形的面积：1. 设M 是椭圆1162522=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，621π=∠MF F ，求21MF F ∆的面积。
2. 已知点P 是椭圆1422=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，021=•PF PF ，求点P 到x 轴的距离。
3. 已知点P 是椭圆192522=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，若212121=••PF PF PF PF ，则21F PF ∆的面积为 。
4. 椭圆1422=+y x 的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则=2PF 。
5. 已知AB 为经过椭圆的中心的弦，为椭圆的右焦点，则的面积的最大值为 。
(七) 焦点三角形1. 设椭圆14922=+y x 的两焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆上一点，求21PF PF •的最大值，并求此时P 点的坐标。
2. 椭圆12922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若41=PF ，则=2PF ；=∠21PF F 。
3. 椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，P 为其上一动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围为 。
4. P 为椭圆1162522=+y x 上一点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点。
（1）若1PF 的中点是M ，求证：1215PF MO -=；（2）若︒=∠6021PF F ，求21PF PF •的值。
(八) 中心不在原点的椭圆1. 椭圆的中心为点)0,1(-E ，它的一个焦点为)0,3(-F ，相应于焦点F 的准线方程为27-=x ，则这个椭圆的方程是 。
二、 椭圆的简单几何性质（一） 已知a、b、c 、e、ca 2求椭圆方程1． 求下列椭圆的标准方程 （1）32,8==e c ； （2）35=e ，一条准线方程为3=x 。
2． 椭圆过（3，0）点，离心率为36=e ，求椭圆的标准方程。
3． 椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为？4． 椭圆的对称轴为坐标轴，离心率为22，两准线间的距离为4，则此椭圆的方程为？ 5． 根据下列条件，写出椭圆的标准方程：（1） 椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F ，其中一条准线方程是4-=x ；（2） 椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为34，并且椭圆和直线016372=-+y x 恰有一个公共点；（3） 椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是3。
6． 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，离心率为22，右准线方程为2=x 。
求椭圆的方程。
答案：1222=+y x 7． 根据下列条件求椭圆的方程：（1） 两准线间的距离为5518，焦距为52；答案：14922=+y x 或19422=+y x （2） 和椭圆1202422=+y x 共准线，且离心率为21； （3） 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点煌距离分别为354和352，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。
（二） 根据椭圆方程研究其性质1． 已知椭圆)0()3(22>=++m m y m x 的离心率为23=e ，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。
2． 已知椭圆的长轴长是6，焦距是24，那么中心在原点，长轴所在直线与y 轴重合的椭圆的准线方程是 。
3． 椭圆81922=+y x 的长轴长为 ，短轴长为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，离心率为 ，准线方程为 。
（三） 求离心率1． 过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F2为右焦点，若︒=∠6021PF F ，则椭圆的离心率为（ ）2． 在平面直角坐标系中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为2，以O 圆心，a 为半径作圆，过点)0,(2ca 作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝ 。
3． 若椭圆的两个焦点把长轴分成三等份，则椭圆的离心率为？4． 椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F1，则满足1ABF ∆为等边三角形的椭圆的离心率是？5． 设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦的长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是 。
答案：216． 已知点),0(b A ，B 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线与x 轴的交点，若线段AB的中点C 在椭圆上，则该椭圆的离心率为 。
答案：33（四） 第二定义1． 设椭圆)1(112222>=-+m m y m x 上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右准线的距离为 2 。