考点11 椭圆1.（2010·广东高考文科·Ｔ7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A ．45 B ．35 C ．25D ．15【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，列出a 、b 、c 的关系，再转化为a 、c 间的关系，从而求出e .【规范解答】选B .Q 椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,∴ 2b a c =+，∴ 224()b a c =+，即： 22242b a ac c =++，又 222a b c =+，∴ 224()a c -=222a ac c ++，即 223250a ac c --=，()(35)0a c a c +-=，∴0a c +=（舍去）或 350a c -=，∴ 35c e a ==，故选B . 2.（2010·福建高考文科·Ｔ１1）若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅u u u r u u u r的最大值为（ ）A.2B.3C.6D.8【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值.【思路点拨】先求出椭圆的左焦点，设P 为动点，依题意写出OP FP ⋅u u u r u u u r的表达式，进而转化为求解条件最值的问题，利用二次函数的方法求解.【规范解答】选C ，设()00P x ,y ，则22220000x y 3x 1y 3434+==-即，又因为()F 1,0- ()2000OP FP x x 1y ∴⋅=⋅++u u u r u u r 2001x x 34=++()201x 224=++，又[]0x 2,2∈-，()[]OP FP 2,6∴⋅∈u u u r u u r ，所以 ()max6OP FP ⋅=u u u r u u u r.3.（2010·海南高考理科·T20）设12,F F 分别是椭圆E:22221x y a b+=（a>b>0）的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于,A B 两点，且2AF ,AB ,2BF 成等差数列. （Ⅰ)求E 的离心率；（Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB =,求E 的方程.【命题立意】本题综合考查了椭圆的定义、等差数列的概念以及直线与椭圆的关系等等.解决本题时，一定要灵活运用韦达定理以及弦长公式等知识.【思路点拨】利用等差数列的定义，得出2AF ,AB ,2BF 满足的一个关系，然后再利用椭圆的定义进行计算.【规范解答】（Ⅰ)由椭圆的定义知，224AF BF AB a ++=，又222AB AF BF =+ 得 43AB a =，l 的方程为y x c =+，其中c =设()()1122,,,A x y B x y ，则,A B 两点坐标满足方程组22221y x c x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得，2222222()2()0a b x a cx a c b +++-= 则 212222a c x x a b -+=+，2221222()a cb x x a b-=+. 因为直线AB 斜率为1，所以21AB x =-=得 222443a ab a b =+，故222a b =,所以E的离心率2c e a a ===. （Ⅱ）设,A B 两点的中点为()00,N x y ，由（Ⅰ)知212022223x x a c x c a b +-===-+，003cy x c =+=. 由PA PB =，可知1PN k =-.即0011y x +=-，得3c =，从而3a b ==. 椭圆E 的方程为221189x y +=. 【方法技巧】熟练利用圆锥曲线的定义及常用的性质，从题目中提取有价值的信息，然后列出方程组进行相关的计算.4.（2010·北京高考文科·Ｔ１9）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，，离心率是3，直线y t =与椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P,圆心为P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；（Ⅲ）设Q （x,y ）是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值.【命题立意】本题考查了求椭圆方程，直线与圆的位置关系，函数的最值。

要求学生掌握椭圆标准中,,a b c 的关系，离心率ce a=.直线与圆相切问题转化为圆心到直线的距离等于半径来求解.第（Ⅲ）问中y 最大值的求法用到了三角代换，体现了数学中的转化与化归思想. 【思路点拨】由焦点可求出c ，再利用离心率可求出,a b 。

直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离. 【规范解答】（Ⅰ）因为3c a =，且c =1a b == 所以椭圆C 的方程为2213x y +=. （Ⅱ）由题意知(0,)(11)p t t -<<由2213y t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =所以圆P.由||t =，解得t =±所以点P 的坐标是（0，.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P 的方程222()3(1)x y t t +-=-.因为点(,)Q x y 在圆P 上。

所以由图可知y 223(1)y t t x t =±--≤。

设cos ,(0,)t θθπ=∈，则cos 2sin()6t πθθθ==+当3πθ=，即12t =，且0x =，y 取最大值2.【方法技巧】（1）直线与圆的位置关系：d r >时相离；d r =时相切；d r <时相交； （2）求无理函数的最值时三角代换是一种常用的去根号的技巧.5.（2010·辽宁高考文理科·Ｔ20）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o,2AF FB =u u u r u u u r.(I) 求椭圆C 的离心率； (II)如果|AB|=154，求椭圆C 的方程. 【命题立意】本题考查了直线的点斜式方程，考查了椭圆的离心率，椭圆的标准方程，考查了圆锥曲线中的弦长问题，以及推理运算能力.【思路点拨】（I ）联立直线方程和椭圆方程，消去x,解出两个交点的纵坐标，利用这两个纵坐标间的关系，得出a 、b 、c 间的关系，求出离心率.（II ）利用弦长公式表示出|AB|，再结合离心率和222a b c =+，求出a 、b ，写出椭圆方程.【规范解答】y1122122222422222212222212(,),(,) (0 0)(I) ),)(3)301(2)(2),,332,2A x y B x y y y l y x c c y x c x a b y cy b x y a b c a c a y y a b a b AF FB y y <>=-=⎧=-⎪++-=⎨+=⎪⎩+-==++=-=u u u r u u u r设直线的方程为其中联立消去得解得因为所以21222315(II)|AB|-y |,425153,3344C 195c e a c b a a a b a x y =======+=2得离心率因为。

由得。

所以＝，得所以椭圆的方程为【方法技巧】1、直线、圆锥曲线的综合问题，往往是联立成方程组消去一个x(或y),得到关于y(或x)的一元二次方程，使问题得以解决.2、弦长问题，注意使用弦长公式，并结合一元二次方程根与系数的关系来解决问题. 6.（2010·天津高考文理科·Ｔ20）已知椭圆22221(0x y a b a b+=>>）的离心率e =连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4（1） 求椭圆的方程；（2） 设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ，已知点A 的坐标为（,0a -），点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB =u u u r u u u rg，求0y 的值. 【命题立意】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力。

【思路点拨】（1）建立关于a,b 的方程组求出a,b ；（2）构造新的一元二次方程求解。

【规范解答】（1）由e 2c a ==，得2234a c =，再由222c a b =-，得2a b =由题意可知，1224,22a b ab ⨯⨯==即 解方程组22a b ab =⎧⎨=⎩ 得 a=2,b=1，所以椭圆的方程为2214x y +=。

(2)解：由（1）可知A （-2,0）。

设B 点的坐标为（x 1,,y 1）,直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y=k(x+2),于是A,B 两点的坐标满足方程组22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩由方程组消去y 整理，得2222(14)16(164)0k x k x k +++-=由2121642,14k x k --=+得21122284,,1414k kx y k k -==++从而 设线段AB 是中点为M ，则M 的坐标为22282(,)1414k kk k-++ 以下分两种情况：（1）当k=0时，点B 的坐标为（2,0）。

线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是000(2,y ),(2,=QA QB y QA QB y →→→→=--=-±g ）由4，得=（2）当k 0≠时，线段AB 的垂直平分线方程为（后边的Y 改为小写）222218()1414k k Y x k k k-=+++ 令x=0，解得02614ky k=+ 由0110(2,y ),(,QA QB x y y →→=--=-）2101022222(28)6462(()14141414k k k k QA QB x y y y k k k k→→--=---++++++g ）= 42224(16151)4(14)k k k +-=+=整理得2072,=75k k y ==±±故综上00==y y ±7.（2010·福建高考理科·Ｔ17）已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2 , 3），且点F （2 ，0）为其右焦点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.【命题立意】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.【思路点拨】第一步先求出左焦点，进而求出a,c,然后求解椭圆的标准方程；第二步依题意假设直线l 的方程为32=+y x t ，联立直线与椭圆的方程，利用判别式限制参数t 的范围，再由直线OA 与直线l 的距离等于4列出方程，求解出t 的值，注意判别式对参数t 的限制.【规范解答】（I ）依题意，可设椭圆的方程为()222210+=>>x y a b a b，且可知左焦点为()2,0'-F ，从而有22358=⎧⎨'=+=+=⎩c a AF AF ，解得42=⎧⎨=⎩a c ，又2222,12=+∴=a b c b ，故椭圆的方程为2211612+=x y ；（II ）假设存在符合题意的直线l ，其方程为32=+y x t ，由221161232⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x t得2233120++-=x tx t ，因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以()()22343120∆=-⨯⨯-≥t t，解得-≤≤t OA 与直线l 的距离等于44,=∴=±t，由于⎡±-⎣，所以符合题意的直线l 不存在.【方法技巧】在求解直线与圆锥曲线的位置关系中的相交弦问题时，我们一定要注意判别式∆的限制。