Q(t)
t
f (s)ds
t (100 10s 0.45s2 )ds
0
0
100 t 5t 2 0.15t3 (吨)
Q Q(8) Q(4)
(100 8 582 0.15 83) (100 4 5 42 0.15 43)
10
| ln x | dx
0.1
y
y ln x
1
10
ln xdx ln xdx
0.1
1


x
ln
x
|1
0.1

1
xd ln x
0.1
o
x
x ln x |110

10
xd ln x
1
0.1ln0.1 1 0.1 10ln10 9 0.1ln10 0.9 10ln10 9
y2
2
dy
9

20
x y2
x
三、经济应用举例（一）
已知总产量的变化率求总产量
已知某产品总产量Q的变化率是时间t的连续函数
f(t),且时刻t0的产量Q0,即Q‘(t)=f(t), Q0=Q(t0) .则产品在 t时刻的总产量函数可表示为
t
Q(t) Q(t0 )
f (t )dt
t0
解 画草图.
解方程组

y y
2 x x2
得交点 (0, 0) 和 (1, 1)
y
y2 x
(1,1)
S
1
(
x x2 )dx
选x为积分变量
0
y x2

[
2 3
3
x2

] x3
3
11
03
o
1
x
1
另解. S ( 0
y

y
2
)dy

[
2 3
3
y2

]y3
3
1 1 03
15
16
5
32 3 2
(2, 4)
y 2x y x2
y
y x
(1,1)
O
x
求由x y2 , y 2x 1所围图形的面积，及绕x轴, y轴
旋转生成旋转体的体积.
解：画图，
y 2x 1
y

x y2
交点为(1,1),(1 , 1).
(1,1)
Oa x
bx
S x f 2(x)
y
d
x y
c
O
x
S y 2( y)
一般地, 由连续曲线 y =ƒ(x) 、 y =g(x) 和直线 x =
a 、x = b所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的立
体的体积为
Vx
b
[
f
2
(x)

g2
(
x)]dx
a
y
y=ƒ(x)
§6.4 定积分的应用
一、平面图形的面积 二、立体的体积 三、经济应用
一、平面图形的面积
平面图形面积可借助定积分几何意义进行求解。
一条曲线情形：（积分变量为x）
y
y Oa
S
bx
ya O
S
S1
bx
cO
a S2
d
S3
bx
(1) f(x)≥0,
(2) f(x)≤0,
（3）一般情况
b
S a f ( x)dx
(t0 0)
t
Q Q(t) Q(t0 )
f (t)dt
t0
(t0 0)
注：通常假设t0=0时，Q0=0即Q(t0)=0。
例：某产品总产量变化率为f(t)=100+10t-0.45t2
(吨/小时),求⑴总产量函数Q(t);⑵从t0=4到t1=8这
段时间内的总产量Q。
解：
y
y f2(x)
f2(c) f1(c)
S
c
a
f1( x)
f2( x) dx
oa c
bx
y f1( x)

b
c b f2(x)
f1( x)dx
a f2( x) f1( x) dx
注：求面积时保证被积函数的非负性
x y
y d
y d
c
O
e
x ( y)
(3) 生产多少单位产品才能获得最大利润；
(4) 最大利润是多少?
解：(1)
C( x) C(0)
x
C(t)dt 200
x
(16 0.002t)dt
0
0
16x 0.001x2 200
(2) L( x) R( x) C( x) px C( x) (20 0.001x)x (16x 0.001x2 200) 0.002x2 4x 200
1
o
x
而
S1
1a (1 x2 ax2 )dx
0
1 [ x 1 (1 a)x3 ] 1 a
3 0
2 3 1a
再由
S1

1 2
S
得
3
2 1 1a 2
1
(1
0x2)来自x1 3解之得
a3
二、平行截面面积已知的立体体积
设为一空间立体，夹在平面x a和x b(a b)之间,
解： 两曲线的交点
(8,4)
y2 2x

(2,2), (8,4).
y x4
选 y为积分变量
y x4
(2,2) y2 2x
4
y2
S
2

y

4

2
dy
18.
选x为积分变量
2
8
S 0 2x ( 2x ) dx 2 ( 2x ( x 4))dx 18.
两曲线的交点
y x3 6x

y

x2
(0,0), (2,4), (3,9).
选 x为积分变量
y x2
于是所求面积
S 0 ( x3 6x x2 )dx 2

3(x2 0

x3

6 x )dx
253. 12
y x3 6x
例：计算由曲线y2=2x和y=x-4直线所围成的图形的面积.
y
y f2(x)
积分区间的确定
oa c
bx
y f1( x)
选取积分变量 x 应为区域的左右两个边界点所确定的区间; 选取积分变量 y 应为区域的上下两个边界点所确定的区间;
被积函数应遵循的原则 ---大减小(x上减下, y右减左)
例：计算由曲线y=x3-6x和y=x2所围成的图形的面积.
解
过任意点x [a, b]作垂直于x轴的平面,它截立体的截
平面的面积为S( x（) 连续）,则该立体的体积为
b
V a S( x)dx
y
S(x)
o
a
x
bx
具体求法如下：
1.分割 y
a x0 x1 L xn b
xi xi xi1
|| || m1iaxn {xi }
e
d
d
S c ( y)dy e ( y)dy c | ( y) | dy
由x ( y), y c, y d及y轴所围图形的面积为
d
S c | ( y) | dy
求由y ln x, x 0.1, x 10, y 0所围图形的面积.
解：S
9.9ln10 8.1
2条曲线（选择合适的积分变量）
b
b
y
y f2( x) S a f2 ( x)dx a f1( x)dx
y f1( x)
b
a ( f2( x) f1( x))dx
oa
b x 选x作为变量上边曲线减去下边曲线
f2( x) f1( x)
(3) L( x) 0.004x 4 L( x) 0 x 1000 L( x) 0.004 L(1000) 0.004 0 x 1000是极大值点,也是最大值点.
1
y)dy
例 设曲线 y 1 x2 , x 轴与 y 轴在第一象限所围的图形
被曲线 y ax2 (a分为0面) 积相等的两部分，试确定a的值.
解
如图，解方程组
y 1 x2

y ax2
y y 1 x2 y ax2
S1
得交点坐标 ( 1 , a )
S2
1a 1a
y 2x 1
4
S
1 1
2
y1 (
2
y2)
dy
1 16
Vx

1

0
2
1
x dx 1 2x 1
2
2
O
2
(0, 1)
dx
3
(1 ,0) 2 (1, 1) 42
Vy
1 1
2


y
2
1

2
dy

1
1 2
b
S a | f ( x) | dx
一条曲线（积分变量为y）
y
d
x (y)
y
d
y
d