有限元作业
有限元分析大作业
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试题一（对应第二章）
如图所示，有一受轴向拉伸载荷2000P N =作用的变截面杆件，在0x =处，杆件截面积为2020A mm =，在180x L mm ==处，杆件截面积为
201
102
A mm =，杆件弹性模量为200GPa ，泊松比为0.3，试建立该杆件的有限元模型，并计算端部位移。
（在划分网格时，沿长度方向取三个等长度杆单元）
x
P
A 01
2
A L
解：计算分析
000
()(1)2(1)
2(1)
2x x x x A P
x A A x A L
P
x A L P x E EA L
σσσε===-
=
-==
-
[
]00
022()[ln(2)]ln 2ln(2)12x
x
x
x P dx PL PL u x dx L x L L x x EA EA EA L ε==
=--=--⎛⎫- ⎪⎝⎭
⎰⎰
() 1.386
0.1242mm PL
u L EA ==
数学建模：将其用二维模型进行降维处理，分为四个节点，三个等长度单元。
后处理
读出最大应力：1.750*10^2mpa
则计算得到右端部位移u（L）=0.12683 轴向位移随杆长变化图如下：
试题二（对应第三章）
一正方形平板,尺寸为40 mm×40 mm,厚度为2 mm,板中央有直径为d的圆孔如下图所示,板材弹性模量为200GPa,泊松比为0.3,在板的左端和右端分别施加20 MPa的拉力载荷.试建立该平板的有限元模型，并分别计算圆孔直
d=5,10,15,20和25mm时，平板开孔应力集中系数。
解：通过受力力分析，可知该问题属于平面应力问题由于结构和载荷对称，取1/4模型进行计算分析。
1.当d=5时,有限元建模如下:
由图读出σmax=48.09 σ0=σ*h*t/((h-d)*t)=20*40/35=160/7 Kt=σmax/σ0=2.104
2.当d=10时，同理可得：
由图读出σmax=62.93 σ0=σ*h*t/((h-d)*t)=20*40/30=80/3
Kt=σmax/σ0=2.360
3.当d=15时，同理可得：
由图读出σmax=81.78 σ0=σ*h*t/((h-d)*t)=20*40/25=32 Kt=σmax/σ0=2.556
4.当d=20时，同理可得：
由图读出σmax=117.2 σ0=σ*h*t/((h-d)*t)=20*40/20=40 Kt=σmax/σ0=2.93
5.当d=25时，同理可得：
由图读出σmax=194.0 σ0=σ*h*t/((h-d)*t)=20*40/15=160/3
Kt=σmax/σ0=3.6375
试题三（对应第六章）
如图所示平面桁架结构，两端均为固定铰链支座，试建立该平面桁架结构的有限元模型，并给出位移图，各杆内力值。
杆件弹性模量为200GPa,泊松比为0.3，各杆面积为0.001m2。
解：分析问题并建立模型
采用六节点9单元模型，每根杆一个单元，两个节点。
位移图如下：
受力分析
则可得，红色的对称应力最大杆，其应力值为：7.073*10^5；其它杆应力值：0
试题四（对应第三章）
图示一简化直齿轮轮齿截面，高h=60mm，厚度t=4mm，齿根宽b=60mm，齿顶宽c=25mm，齿顶作用力P1=1KN（如图中所示）, P2=1KN (垂直截面向里)；材料弹性模量为200GPa,泊松比为0.3，试采用不同单元分析轮齿上位移及应力分布，并指出最大应力位置。
解：采用四面体单元和六面体单元两种进行网格划分，然后将结果进行对比。
1.四面体单元分析：
由图可知，最大位移为：1.480mm；
由图可知，最大应力为：2.603*10^3mpa.
2.六面体单元，同理可得：
由图可知，最大位移：1.721mm；
由图可知，最大应力：2.925*10^3mpa；
由上面数据对比分析可知，四面体和六面体相比，位移和应力的单元结果都要小，但是两者最终的结果相差不大,应该接近正确值。
最大应力位置为，图中红色区域位置。
试题五（对应第四章）
图示为一圆桶，内径1R =300mm ，外径2R =500mm ，长度L=2000mm ，其内壁受均布压力100q MPa =，外壁固定；材料弹性模量为200GPa,泊松比为0.3，试采用不同单元（四面体和六面体单元）计算圆桶的位移及应力分布
应力和位移的表达式为：
径向正应力：22222
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1111r r R q R R μμ
σμμ-++=-+-+，
切向（环向）正应力：2222
2
211111r R q R R θμμ
σμμ-+-=+-+，
剪应力：0r θτ= 径向位移
：2
2
22
2211111()r r r R u q E R R μ
μμ--=+-+
解：采用四面体单元和六面体单元两种进行网格划分，然后将结果进行对比。
1.四面体单元
由图可知，最大位移：4.521*10^-2mm；
由图可知，最大应力：1.144*10^2mpa；
2.六面体单元。
同理可得：
由图可知，最大位移：4.580*10^-2mm；最大应力：1.054*10^2mpa；由上面数据分析可知，两种网格单元的最终结果相差不大，应该接近正确值。
建议与体会：通过本次大作业，我对于有限元建模及abaqus有了初
步的了解，作业中遇到很多困难，但最终还是解决了而且收获了很多，从上面的的过程，我们不难看出，同一个问题可以有多种建模方式，而且最终的结果相差不大，网格单元精细的精度可能高一些，但处理过程比较复杂，而网格稀疏的精度可能差一点，但处理过程简单，所以在实际的生产中不一定有限元网格单元越小越好，只要在要求的范围内，越简单越好，所以我们要在要求允许的范围内，找出最优方案。