sin x x sin x x
1
x 0

1
0
练 习 题
x
3、 lim 1 t t
t 0 1 t 0
e

2t 2 1
4、 lim 1 2 t t lim 1 2 t
t 0

e
2
5、 lim
sin 3 x x
x 0
lim
解：
lim
2 3
n
n
4 1
n
2 lim 4
n
n n

3 4 1
n
1
4
00 1 0 0
n
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例7
求 lim
x 2
x2 x 1 1
常 见 例 题 解 析
解：原式 lim2 x
lim
x 2
x 1 1



x 1 1
1
x

1 3
练 习 题
C、 lim
x
x
lim sin x 0 ;D、 lim 1 x x e ;
x
x
三、计算题 1、 lim
1 co s 2 x x
2 x 0
；
2、 lim
tan 2 x sin 3 x
x
x 0
3、 lim 1 2 x ；
x 0
1 cos x
解：原式
x 2 sin 2 sin 2 2 lim lim 2 2 x 0 x 0 x x t
2
x
2
2
x
应 用 举 例

1 2
sin lim
x 0
2
x 2
2
x 2
x sin 1 2 lim 2 x 0 x 2
第一章
极限与连续
第三节 无穷大与无穷小 第四节 两个重要极限
重 点 难 点
• 知道什么是无穷大什么是无穷小（除 了0以外，两个都是变量） • 理解无穷小的三个性质（此三个性质 是无穷大没有的） • 掌握利用无穷大与无穷小的关系求函 数极限的方法。 • 熟悉求几种不同类型的函数的极限的 方法。 • 掌握两个重要极限的形式，变形形式 • 能熟练的利用两个重要极限的结论求 给的函数的极限
b0 x b1 x
m
常 见 例 题 解 析
求解方法：分子分母同除以x的最高次幂 一般的有如下结论：
lim a 0 x a1 x
n n 1 m 1
a2 x b2 x
n2 m2
... a n 1 x a n ... b n 1 x b n
n m n m n m
x1

0 5
0
由无穷小与无穷大关系知： lim
x1

倒数法，适用范围分母极限为0，分子极限 不为0
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例 2：求 lim
x 2
x x2
2
x 4
2
常 见 例 题 解 析
解： lim
x x2
2
x 2
x 4
2
lim
( x 2 )( x 1) ( x 2 )( x 2 )
1
1
3
x 2x
是无穷大量； x 1 当
时， x
2
x 1
是无穷大量；当 x 2
是无
穷大量。
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一 、 无 穷 大 与 无 穷 小
• 注意 • 1、除了0以外，无穷大与无穷小都是变量 • 2、无穷小，不是指数值越来越小，而是 指数值越来越趋近于0 • 3、无穷大有两种情形，一是正的无限增 大，一是负的无限增大 • 4、任何一个常数，无论多大都不是无穷 大，除了0以外，任何一个常数，无论多 小，都不是无穷小 • 5、指出一个变量是无穷大或者无穷小的 同时，要指出变化趋势。 • 6、0是唯一的一个无穷小常数。
1
12 1
1
1 lim 1 x 2x 1
1
2 1 2 lim 1 x 2x 1 t
1 lim 1 e t t
t
e2
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一、填空题 1、 lim 2、 lim
x 1 x2
x 2
lim
x 2

3 4
通分法：适用范围，分子分母极限同时 为0的有理分式
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例 3：求 lim
x
a0 x a1 x
n
n 1 m 1
a2 x b2 x
n2 m2
... an1 x an ... bn1 x bn
2

1 2
1
2
1 2
lim
x 0
sin t t
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例 5： 求 lim 1 x x
x 0
1
解：原式 lim 1 x x x 0
1
应 用 举 例
1
lim 1 x x 0
x
1
x lim 1 x x 0 t 1 1 x lim 1 x x 0
x 0
sin x x
1
x 0 ,t

lim t sin
t
1 t
1
二、 两 个 重 要 极 限

1
2、 1 x x e lim
x 0
1

1
倒数
1 lim 1 e t t
t
令t
1 x
x 0 ,t

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x 1 1
x 2
x 1 1 2
同理，若分子出现根式，方法一样—根式 有理化
lim x 1 1 x2
lim
lim

x 1 1

x 1 1

x 2
x 2
x 2
1 x 1 1
x 1 1
1 2

x 2
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令t
1 x
1、 lim
sin 3 x
x 0

3

3
3x
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二、选择题 5、下列关于极限运算正确的是（ A ） A、 lim
sin x x sin x x lim 1 x
x 0
1 ;B、 lim
x 2
2
x
3x 4x
2

lim x 2
2
lim 3 x 4 x
2 x
x x 0
1
2 4、 lim ln 1 x x
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计算极限
解： x 1 x 1
x 1 lim x x 1
x 1 2 x 1
x
1
x
2 x 1
x 1 2 2 1
思 考 题
2 lim 1 2 原 式 lim 1 x x 1 x x 1
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例 1：求 lim
x 0
tan x x
应 用 举 例
解： lim x 0
tan x x
lim
sin x x sin x x
x 0

1 co s x 1 co s x
lim
x 0
lim
x 0
11 1
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例 2：求 lim
x 0
sin Rx x
lim f ( x ) A 的充要条件是 f ( x ) A a ,其中 a 是
该变化趋势下的无穷小。
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一 、 无 穷 大 与 无 穷 小
4、无穷小的三个性质
⑴ 有限个无穷小量的代数和是无穷小。 ⑵ 有限个无穷小量的乘积是无穷小。 ⑶ 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小。
关于两个重要极限的几点说明：
二、 两 个 重 要 极 限
其中 t 可以是自变量也可以是中间变量。
使用这两个公式时一定要注意公式的形式特 征和变量的变化趋势。对于 lim
t 0
sin t t
1 ，要
使 t 0 且分子、分母为同一变量 t 。防止 出现 lim
sin 2 x x
x 0
1 这样的错误。
m
5、 若 m 2, 则 lim 若 m 4, 则 lim 若 m 3, 则 lim 2x
3x 2
3
x m
x 2x 3x 2
3
0
x
x 2x 2x
m

3x 2
3
x
x 2x
2
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例 5 求 lim
n
1 2 3 ... n 3n 4
x 0
应 用 举 例
解：原式
3x lim x 0 sin 2 x

3 2
lim lim
2x sin 3 x
2 x
3x sin 2 x 2x
t
x 0
3x sin 2 x 2x
lim
t 0
sin t t
x 0
u
lim
u 0

3 2
sin u u
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例 4： 求 lim
x
b0 x