第四节数据采样法随着数控系统中计算机的引入，大大缓解了插补运算时间和计算复杂性之间的矛盾，特别是高性能直流伺服系统和交流伺服系统的研制成功，为提高现代数控系统的综合性能创造了充分条件。
相应地，这些现代数控系统中采用的插补方法，就不再是最初硬件数控系统中所使用的脉冲增量法，而是结合了计算机采样思想的数据采样法。
所谓数据采样法就是利用一系列首尾相连的微小直线段来逼近给定曲线。
由于这些线段是按加工时间来分割的，因此，数据采样法又称为“时间分割法”。
一般来讲，分割后所得到的微小直线段相对系统精度而言仍显过大，需要在微小直线段的基础上进一步密化数据点。
获取微小直线段的过程称为粗插补，将微小直线段进一步密化的过程称为精插补。
通过两者的紧密配合即可实现高性能零件轮廓插补。
一般情况下，数据采样插补法中的粗插补是由软件实现。
由于粗插补可能涉及到一些比较复杂的函数运算，因此，大多采用高级语言完成。
而精插补算法大多采用前面介绍的脉冲增量法，它既可由软件实现也可由硬件实现，由于相应算术运算较简单，所以软件实现时大多采用汇编语言完成。
一、插补周期与位置控制周期所谓插补周期T S是指相邻两个微小直线段之间的插补时间间隔，而位置控制周期T C则是数控系统中伺服位置环的采样控制时间间隔。
对于给定的数控系统而言，插补周期和位置控制周期是两个固定不变的时间参数。
通常取T S≥T C，目的是便于系统内部控制软件的处理。
当T S与T C不相等时，一般要求T S是T C的整数倍。
这是由于插补运算较复杂，处理时间较长；而位置环数字控制算法较简单，处理时间较短。
因此，每次插补运算的结果可供位置环多次使用。
现假设程编进给速度为F，插补周期为T S，则可求得插补分割后的微小直线段长度为∆L（暂不考虑单位）为∆L=FT S。
插补周期T S对系统稳定性没有影响，但对被加工轮廓的轨迹误差有影响。
位置控制周期T C不仅对系统稳定性而且对轮廓误差均有影响。
因此，T S的选择，主要从插补精度方面考虑，而T C的选择则需从伺服系统的稳定性和动态跟踪误差两个方面加以考虑。
一般情况下，插补周期T S越长，插补计算误差就越大。
因此，单从减小插补计算误差的角度来考虑时，希望插补周期T S越小越好。
但另一方面，T S也不能太小，由于数控系统在进行轮廓插补控制的同时，其数控装置中CPU不仅要完成插补运算，而且还必须处理一些其他任务，例如：位置误差计算、显示、监控、I/O处理等。
因此，T S不单是指CPU完成插补运算所需时间，而且还必须留出一部分时间用于执行其他相关的数控任务。
由此可见，要求插补周期T S必须大于插补运算时间和完成其他相关任务所需时间总和。
据有关资料介绍，数控系统数据采样法插补周期一般不大于20ms，使用较多的大都在10ms左右。
例如美国AB公司的7360数控系统中T S=10.24ms；德国SIEMENS公司的System-7数控系统中T S=8ms。
但随着CPU处理速度的提高，为了获得更高的插补精度，插补周期也会越来越小。
数控系统位置控制周期的选择有两种方式：一种是T C=T S，如7360系统中T C=T S =10.24ms；另一种是T S为T C的整数倍，如System-7数控系统中T S=8ms、T C=4ms，即插补周期是位置控制周期的2倍。
插补程序每8ms调用一次，计算出该周期内各坐标轴相应的进给增量，而位置控制程序每4ms将插补计算增量的一半作为该位置控制周期的位置给定，也就是说，每个插补周期计算出来的坐标增量均分两次送给伺服系统去执行。
这样，在不改变计算机速度的前提下，可提高位置环的采样频率，使得进给速度变化较为平缓，提高了系统的动态性能。
一般来讲，位置控制周期T C取值范围大致在4～20ms之间。
二、插补周期与精度、速度之间的关系在数据采样法直线插补过程中，由于给定轮廓本身就是直线，那么插补分割后的小直线段与给定直线在理论上是重合的，也就不存在插补误差问题。
但在圆弧插补过程中，一般采用切线、内接弦线和割线来逼近圆弧，显然，这些微小直线段不可能完全与圆弧相重合，从而造成了轮廓插补误差。
下面就以弦线逼近法为例来加以分析。
r⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21θcos R e r （3-52） 式中 R ——被插补圆弧半径（mm ）；θ ——步距角，即每个插补周期所走过的弦线对应的圆心角，其值为θ≈∆L /R =FT S /R （3-53）反过来，在给定所允许的最大径向误差e r 后，也可以求出最大的步距角为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=R e arccos r max 12θ （3-54） 由于θ 很小，现将 cos(θ/2) 按幂级数展开，有-+-=！）（！42221242/)/(cos θθθ若取上式的前两项，代入式（3-52），得 ()R FT R /R R e S r 188221222）（！==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--≈θθ （3-55） 由式（3-55）可以看出：在圆弧插补过程中，插补误差e r 与被插补圆弧半径R 成反比，与插补周期T S 以及程编进给速度F 的平方成正比。
即T S 越长、F 越大、R 越小，圆弧插补的误差就越大；反之，误差就越小。
对于给定的圆弧轮廓以及插补误差而言，T S 尽可能选小一些，以便获得较高的进给速度F ，提高了加工效率。
进一步当插补周期、插补误差不变时，被加工圆弧轮廓的曲率半径越大，其允许使用的切削速度就越高。
三、数据采样法直线插补（一）基本原理假设刀具在XOY 平面内加工直线轮廓OE ，起点为O （0，0），终点为E （X e ，Y e ），动点为N i －1（X i －1，Y i －1），且程编进给速度为F ，插补周期为T S ，如图3-28所示。
易求出该插补周期内各坐标轴对应的位置增量为e e i KX X LL X ==∆∆ （3-56a ） e e i KY Y LL Y ==∆∆ （3-56b ） 式中 L ——被插补直线长度 22e e Y X L +=（mm ）；K ——每个插补周期内的进给速率数K =ΔL /L =（FT S ）/ L 。
从而得出下一个动点N i 的坐标值为e i i i i X L L X X X X ∆∆+=+=--11 （3-57a ） e i i i i Y L LY Y Y Y ∆∆+=+=--11（3-57b ） （二）实现方法通过前面的分析可以看出，利用数据采样法插补直线的算法比较简单。
主要分为两个步骤：第一步是插补准备，主要完成一些常量的计算工作，例如L 、K 的计算，对于每个零件轮廓段一般仅执行一次；第二步是插补计算，主要完成该周期对应坐标增量值 (△Xi ,△Yi ) 及动点坐标值 (Xi ,Yi )的计算工作，一般每个插补周期均执行一次。
具体软件流程如图3-29所示。
关于如图3-29所示软件流程图说明如下：1）数据采样法插补计算所使用的起始坐标、终点坐标及插补所得到的动点坐标均为带有符号的代数值，而不象脉冲增量插补算法那样使用绝对值参与插补运算，并且这些坐标值也不一定要转换成以脉冲当量为单位的整数值。
也就是说，数据采样法中所涉及到的坐标值是带有正、负符号的真实坐标值。
2）求取坐标增量值与动点坐标值的计算公式（3-56）和（3-57）并非唯一的，例如，也可以利用直线轮廓与横坐标夹角的三角函数关系来求得。
3）关于数据采样法的终点判别问题，将在后面集中加以讨论。
四、数据采样法圆弧插补数据采样法圆弧插补的基本思路是在满足加工精度的前提下，用弦线或割线来代替弧线实现进给，即用直线段逼近圆弧。
（一）直接函数法——内接弦线法1．基本原理所谓“内接弦线法”就是利用圆弧上相邻两个采样点之间的弦线来逼近相应圆弧的插补算法。
为了计算方便，将坐标轴分为长轴和短轴，并定义位置增量值较大的轴为长轴，位置增量值较小的轴为短轴。
由圆的参数方程求导可以得出，在圆弧插补过程中，坐标轴的进给速度与动点坐标的绝对值成反比。
也就是说，动点坐标的绝对值越大，其对应的位置增量值越小。
因此，长轴也可以定义为坐标绝对值较小的轴。
如图3-30所示SR 1，设A （X i －1，Y i －1）和B （X i ，Y i ）是圆弧上两个相邻的插补点，弦AB 是弧对应的弦长ΔL ，若进给速度为F ，插补周期为T S ，则有ΔL =FT S 。
当刀具由A 点运动到B 点时，其对应的X 轴坐标增量为|ΔX i |，Y 轴的坐标增量为|ΔY i |。
由于A 、B 两点均为圆弧上的点，故它们均应满足圆的方程，即()()2212122R Y Y X X Y X i i i i i i =+++=+--∆∆ （3-58） 式中ΔX i 、ΔY i 均为带符号数，且有ΔX i ＞０，ΔY i ＜０。
对于如图3-30所示情况，由于|Y i －1|＞|X i －1|，故取X 轴为长轴，这时先求ΔX i 。
根据图中几何关系可得)cos(L cos L X i i i θα∆α∆∆211+='=- （3-59）其中，θ为AB 对应的圆心角(步距角)。
由于图中M 点为弦AB 的中点，故有 OMO Y )cos(M i =+-θα211≈R /Y Y i i 21∆-- （3-60） 上式中由于|ΔY i |未知，因此，不能直接求得余弦值，只有通过近似方法来求。
由于在圆弧插补过程中，两个相邻插补点之间的位置增量值相差很小，尤其对于短轴（Y 轴）而言，|ΔY i －1|与|ΔY i |相差就更小了，这样就可以利用|ΔY i －1|近似代替|ΔY i |参与计算，由此而引起的轮廓误差暂时可以忽略不计。
故将式（3-60）改写成|)Y ||Y (|R )cos(i i i 11121121----≈+∆θα （3-61） 将式(3-61)代入式(3-59)可求得 )Y Y (R L X i i i 1121--+=∆∆∆ （3-62a ） 又根据式（3-58）可求得 ()2121i i i i X X R Y Y ∆∆+-±-=-- （3-62b ）通常，θ 很小，对于递推算式（3-62）而言，ΔX i 和ΔY i 的初值可近似为RY L)cos(L )cos(L X S ∆α∆θα∆∆=≈+=00021 （3-63a ） RX L )sin(L )sin(L Y S ∆α∆θα∆∆=≈+=00021 （3-63b ） 式中 （X S ，Y S ）为圆弧起点坐标。
通过上述推导过程可以看出，在近似处理过程中仅对角度αi ′= αi －1＋θ/2有微小的影响。
由于式（3-58）的约束条件保证了所有插补点均落在圆弧上，因此，插补的主要误差来自弦线代替弧线进给所造成的误差。
同理，当|X i －1|＞|Y i －1|时，应取Y 轴作为长轴，并先求|ΔY i |＝ΔL sin αi ′，则可推得)X X (R L Y i i i 1121--+=∆∆∆ （3-64a ） ()2121i i i i Y Y R X X ∆∆+-±-=-- （3-64b ）根据上述坐标增量值可求得动点坐标为X i =X i －1＋∆X i （3-65a ）Y i =Y i －1＋∆Y i （3-65b ）2．软件实现对于位置增量计算表达式（3-62）和式（3-64）而言，均有“±”号问题。