教学过程—、复习预习思考：1、直线的性质,平面的性质2、直线在一个平面内的判定？3、直线与直线相交与两个平面相交的区别4、三角形的稳走性指的是什么？二知识讲解考点］公理1 :如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内・考点2公理2 :如果两个平面有一个公共点，那么它们还有具他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的F直线•考点3公理3 :经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面•推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面；推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面；推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面.公理的用途公理1:①证明点在平面内；②证明直线在平面内•公理2 :①确走两个平面的交线；②证明三点共线或三线共点•公理3 :①确走一个平面的条件；②证明有关的点线共面问题•考点4公理4平行于同一条直线的两条直线平行.它给出了平面中直线平行的传递性在空间也成立.考点5异面直线的判走异面直线所成的角三.例题精析【例题1］如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD 上，且满足AE : EB=CF : FB=2 :1 , CG : GD= AH : HD=3 : 1 ,过E、F、G的平面交AD于H ,连接EH.求证:EH、FG、BD三线共点.1〃—证明T AE : EB=CF : FB=2 : 1 /. EF= 3 AC ;又. CG : GD= AH : HD=3 : l t丄.-.GH =4 AC ;则EF//GH且EFHGH ,・・・四边形EFGH为梯形.令EHCIFG=P ,则PeEH，而EHu平面ABD , PeFG rFG<=平面BCD f平面ABDA平面BCD=BD r.••PVBDJ.EH、FG、BD 三线共点.【例题2］如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE : EB = CF:FB=2:1 # CG : GD=3 :1,过E. F x G 的平面交AD 于H・⑴求AH : HD ;⑵证明：EH、FG、BD三线共点. 【答案】(1)3:1 (2)略竺工2 =【解析】⑴EB FB EF〃AC=>EF〃面ACD.而EFU 面EFGH ,而面EFGHA® ACD=GH , /.EF//GH 而EF//AC ,AH _ CG:.AC//GH「•・HD GD 3 ,即AH: HD=3 : 1 ・EF \ GH _ 1(2)・・• EF//GH 且AC 3 x AC 4 z A E F H GH r EFGH 为梯形.令EH"FG = P，则PVEH 而EHU面ABD.PeEG, FGu面BCD,面ABDA面BCD二BD. ・・・PVBD,・・・ EF、FG、BD三线共点.【例题3】已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD±的点，且直线EF和GH交于点P.求证：B、D、P在同一直线上.【证明】如图，••• EFAGH = P , /. PUEF、GH.*/ EeAB ,FeAD f・・・EFU面ABD , /. Pw面ABD.vGeBC rHeCD …・・GHU面BCD r /.Pe® BCD.••面ABDA面BCD=BD , /. PeBD ,B、D、P三点在同一直线上.【例题4]已知直线（与三条平行线a、b、c都相交•求证：。

与a、b、c共面.【证明】设aQl = A bC\l = B cD/ = C由a//b^ a、b确定平面&，因为Ava, Bub=>/uabile b s c确走平面B ■因为Cec, Beb同理可证/up所以a、B均过相交直线b、/=> a、p重合n cua => a、b、c、/共面【例题5]AE HF 1如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是线段AD、BC上的点,T D =~FC = 2 ,AB=CD=3 , EF="，求AB、CD所成角的大小.【答案】60。

GB丄【解析】如图所示，在线段BD上取一点G，使而其•连接GF、GE、EF.AE BG BF 1 2ED = GD=~FC = 2 , GEIIAB,且GE=^AB = 2,I同理，GFllCD,且G"CD“，22+|2_7在匕EGF 中，coszEGF= 2x2x1 ・.zEGF“20°・由GF IICD,GEII AB可知,AB与CD所成的角应是zEGF的补角为60°.【例题6]如图所示，等腰直角三角形ABC中/zA=90\BC=>/2 QA丄AC , DA丄AB/§DA=l f且E为DA的中点•求异面直线BE与CD所成角的余弦值Vjo【答案】而【解析】取AC的中点F ,连接EF , BF ,在乂ACD中，E、F分别是AD、AC的中点, .\EFllCD ,・・・zBEF即为异面直线BE与CD所成的角或其补角.在R2EAB 中,AB=AC=1,丄丄V5AE= 2 AD=2 , Z.BE=~ ,在RMEAF中，丄丄AF=2A C=2丄运# AE=2 z .-.EF=~1V5在 Rt^BAF 中 f AB = 1 , AF=2 # ；.BF= 2 #在等腰三角形EBF 中， Vio ・•・异面直线BE 与CD ■课堂运用【斟出】：!•空间四点中，如果任意三点都不共线，那么由这四点可确走 ___ 个平面?【答案】1或4【解析】若共面的四点则可以确走一个平面；若四点不共面，则可以确定4个平面.2. _________________________________________________________ 若Q4〃OR , OBHO\B\ ,则ZAOB 与关系为 _______________________________________ .【答案】相等或互补.【解析】当ZAOB 与乙40目方向相同时，两角相等；当ZAOB 与Z4Q 百方向相反时，两角互补.3.正方体ABCD - _____________________ 中，与棱A3成异面直线的棱共有 条，它们分别是 ___________________【答案】4; £卩，BG ，CC 計DD,【巩固】1画一个正方体ABCD-ABg ,再画出平面AC®与平面BDG 的交线，并且说明理 由•【解析】F E CD 、、F e ^ACD { x E e AC E e ^ACD { s EuBD 、EV 平面 BDC { s F E DC\、FV 平面FeDC.B t 则EF 为所求.V2一 4一V52 B EA /T0 To"2 •如图，E、F、G、H分别是四面体的棱SA、SC、BA、BC±的点.若EF与GH相【证明】⑴ 当EF和GH相交时，交点为平面ASC和平面ABC的一个公共点，而平面ASC和平面A B C的交线是A C,所以E F和G H的交点在A C上•3・在长方体ABCDAiBiCiDi中,竞、长、高分别为3、4、5 ,现有一只小虫从A出发沿长方体表面爬行到Ci来获取食物,求其路程的最小值.【解析】把长方体含ACi的面作展开图，有三种情形:利用勾股走理可得ACi的长分别为逅、0、y/80 ,（12分）由此可见图②是最短线路，其路程的最小值为*774.（14分）【拔高】1. 过正方体ABCD_AQGD I的顶点A作直线L ,使L与棱AB/D,"所成的角都相等,这样的直线L可以作条.【答案】4【解析】第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有1条体对角线AC1,第二类：在图形外咅倂［］每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条.2. _________________ 直三棱柱G中，若ZBAC = 90° AB = AC = AA}”则异面直线与人C＞所成的角的大小为___ o【答案】60度【解析】延长CA到D ,使得^D = AC ,则为平行四边形，ZD"就是异面直线则与也所成的角，又三角形^DB为等边三角形Z°V = 60°3. 如图所示，正方体ABCD—A向CQ中.E、F分别是A3和九4】的中点.求证：⑴E、C、D H F四点共面；(2)CE、DiF、DA 三线共点.【解析】⑴连结EF , CD, ,A t B.•••£、F分别是AB、Mi的中点，:.EF//BA}.又A\B//DiC , :.EF//CD\ ,•••£、G D、F四点共面・(2Y：EF//CDi , EF<CD\ ,.・.CE与DiF必相交，设交点为P ,则由PWCE , CEU平面ABCD ,得PW平面ABCD 同理PG平面ADD X A\.又平面ABCDQ平面ADD]A\=DA ,:.PE^DA.：.CE. DiF. DA 三线共点.课程小结1. 利用平面基本性质证明"线共点”或"点共线"问题:(1) 证明共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点,再证交点在第三条直线上,有时也可将问题转化为证明三点共线.(2) 要证明"点共线"可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理2可知这些点在交线上，因此共线•课后作业【斟出】1. 用符号表示”点A在直线l±, I在平面c(外"为______________________ .【答案】AVI, I a【解析】注意集合符号的使用，点在线上，点在面内用"曰，线在面内用“ “.2. 有下列命题：①空间四点共面,则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线,则此四点共面；④空间四点中任佢I三点不共线,则此四点不共面.其中正确的命题是_________ •(填序号)【答案】②③【解析】易知①只须四点共面，但可三点不必共线；②③正确；误•3. 有以下三个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线I在平面c(内，可以用符号"Iva"表示；③若平面a内的F直线a与平面B内的一条直线b相交,贝!Ja与p相交.其中正确的命题是 _______ •（填序号）【答案】①③【解析】表示线与面的关系用"u "或"0"表示,故②It 误.【巩固】分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 ___________________ •【答案】平行、异面或相交【解析】可通过正方体观察■ 2. ________ 已知在正方体ABCDAiBiCiDi 中，E 为CQi 的中点,则异面直线AE 与BC 所成角的余 弦值为 __ .2【答案】【解析】取AiBi 的中点F ,贝HzAEF 为所求角或其补角.设正方体棱长为2 ,则AE 二3 ,3.如图，在正方体ABCDAiBiCiDi 中r P 、Q 分别是棱AA^ CCi 的中点,则过点B 、P 、 Q 的截面是 _______【答案】菱形【解析】设正方体棱长为「连结DiP x DiQ ,则易得PB 二BQ 二DiP 二DiQ 二 的中点M ,则DiPllAM II BQ ,故截面为四边形PBQDi,它是一个菱形. 【拔高】1.已知a ,方是异面直线,直线ell 直线勺则c 与6的位置关系 ________________ ①一走是异面直线 ②一走是相交直线 ③不可能是平行直线④不可能是相交直线【答案】③.【解析】c 与&的位置关系相交或异面.2. 给出下列命题：EF 二 2 ,所以 coszAEF = AE2 十 EF" AF22AF X FF，取 DiD①若平面a内的直线a与平面P内的直线b为异面直线，直线C是a与0的交线，那么直线C至多与刁、〃中的一条相交；②若直线刁与方为异面直线，直线b与c平行，则直线a与c异面；③一走存在平面a和异面直线凤b同时平行.其中正确命题的序号是 _______ .【答案】③.【解析】①中直线C可以与认6中的两条都相交；②直线a与c异面或相交.3. ___________________________________________________________ 若P是两条异面直线I、力外的任意一点，则说:第误的有______________________________ （填序号）•①过点P有且仅有一条直线与/加都平行②过点P有且仅有一条直线与/刃都垂直③过点P有且仅有一条直线与/加都相交④过点P有且仅有一条直线与/加都异面【答案】①③④.【解析】过点P未必有直线和直线与/、⑦都平行、相交•过点P可能有无数条直线与直线/力都异面.4. 如图是一正方体的表面展开图,B、N、Q都是所在棱的中点，则在原正方体中,①AB 与CD 相交；②MNllPQ ;③ABHPE ;④MN与CD异面；⑤MNll平面PQC.【答案】①②④⑤【解析】将正方体还原后如图，则N与B重合，A与C重合，E与D重合，所以①、②、④、⑤为真命题•)。