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§3.3 曲线的弯曲程度——曲率
一、曲率的概念
在上一节中，我们研究了曲线的凹凸性，即曲线的弯曲方向问题。
本节研究曲线的弯曲程度问题，这是在生产实践和工程技术中，常常会遇到的一类问题。
例如，设计铁路、高速公路的弯道时，就需要根据最高限速来确定弯道的弯曲程度。
为此，本节我们介绍描述曲线弯曲程度的概念——曲率及其计算公式。
直觉上，我们知道，直线不弯曲，半径小的圆比半径大的圆弯曲得厉害些，抛物线上在顶点附近比远离顶点的部分弯曲得厉害些。
那么如何用数量来描述曲线的弯曲程度呢？
如图3.6所示， 12M M 和
23M M 是两段等长的曲线弧， 23M M 比
12M M 弯曲得厉害些，当点2M 沿曲线弧移动到点3M 时，切线的转角2α∆比
从点1M 沿曲线弧移动到点2M 时，切线的转角1α∆要大些。
如图3.7所示， 12M M 和
12N N 是两段切线转角同为α∆的曲线弧， 12N N 比
12M M 弯曲得厉害些，显然， 12M M 的弧长比
12N N 的弧长大。
这说明，曲线的弯曲程度与曲线的切线转角成正比，与弧长成反比。
由此，我们引入曲率的概念。
如图3.8所示，设,M N 是曲线()y f x =上的两点，当点M 沿曲线移动到点N 时，
切线相应的转角为α∆， 曲线弧 MN 的长为s ∆。
我们用s
∆∆α来表示曲线弧 MN 的平均弯曲程
1M
图
3.6
图
3.7
图3.8
1
度，并称它为曲线弧
MN 的平均曲率，记为K ，即
K s
α
∆=
∆。
当0s ∆→（即N M →）时，若极限0lim
s d s ds
αα
∆→∆=∆存在，从而极限
l i m
s d s d s αα∆→∆=∆存在，则称0lim s d s ds
αα
∆→∆=
∆为曲线()y f x =在M 点处的曲率，记为K ，即
d K ds
α
=。
（3.1） 注意到，
d ds
α
是曲线切线的倾斜角相对于弧长的变化率。
二、曲率的计算公式
设函数)(x f 的二阶导数存在，下面导出曲率的计算公式.
先求d α，因为α是曲线切线的倾斜角，所以αtan ='y ，从而y '=arctan α，两边微分，得
())(11arctan 2y d y y d d ''+=
'=αdx y y '''
+=2
11
（3.2） 其次求ds ，如图 3.9，在曲线上任取一点
0M ，并以此为起点度量弧长。
若点()y x M ,在()000,y x M 的右侧()0x x >，规定弧长为正；若点()y x M ,在()000,y x M 的左侧()0x x <，规定弧长为负；依照此规定，弧长s 是点的横坐标x 的增函数，记为()x s s =。
当点M 沿曲线移动到N ，相应地，横坐标由x 变到x x +∆时，有
=
∆2
)(s ()
()()2
2
2
y x MN
∆+∆=≈，
即 22)(1)(
x
y
x s ∆∆+≈∆∆，
图3.9
2
取极限后可得等式
2020)(lim 1)(
lim x
y
x s x x ∆∆+=∆∆→∆→∆，
即 22)(1)(dx dy
dx ds +=21y '+=，
又因为，s 是x 的增函数，故0ds
dx ≥，从而
21y dx
ds
'+=， 即 dx y ds 21'+=。
（3.3） 把（3.2）、（3.3）式代入（3.1）式，得
23/2
(1)y K y ''
=
'+ （3.4） 这就是曲线()y f x =在点(,)x y 处曲率的计算公式.
例1 求下列曲线上任意一点处的曲率： （1）b kx y +=；（2）222R y x =+。
解 （1）因为k y ='，0=''y ，代入公式（3.4），得0K =。
所以，直线上任意一点的曲率都等于零，这与我们的直觉“直线不弯曲”是一致的。
（2）因为022='+y y x ，y x y -='；322y
R y y x y y -='--=''，代入公式（3.4）
，得
()
3
2
2
1y K y ''
=
'+()
2
32)(132
x y R -+-
=
()
R
y
x
R 12
3
2
2
2
=
+=。
所以，圆上任意一点处的曲率都相等，即圆上任意一点处的弯曲程度相同，且曲率等于圆的半径的倒数。
三、曲率圆
如图3.10，设曲线()y f x =在点(,)M x y 处的曲率为(0)K K ≠。
在点M 处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点D ，使1
||DM K
ρ=
=。
以D 为圆
图3.10
3
心，ρ为半径所作的圆称为曲线在点M 处的曲率圆；曲率圆的圆心D 称为曲线在点M 处的曲率中心；曲率圆的半径ρ称为曲线在点M 处的曲率半径。
根据上述规定，曲率圆与曲线在点M 处有相同的切线和曲率，且在点M 邻近处凹凸性相同。
因此，在工程上常常用曲率圆在点M 邻近处的一段圆弧来近似代替该点邻近处的小曲线弧。
例2 设工件内表面的截线为抛物线20.4y x =，现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处曲率半径中的最小值。
因为
0.8,0.8y x y '''==，
所以，抛物线上任一点的曲率半径为
23/223/2
1(1)[1(0.8)]0.8
y x K y ρ'++===
''， 当0x =时，即在顶点处，曲率半径最小，为 1.25ρ=。
所以，选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不得超过2.50单位长.。