高等数学（上）第三章练习题
一.填空题 1．()ln(21)-f x x x =+的增区间是
2．
1()sin sin 33f x a x x =+在3
x π
=处取极值，则a =
3．曲线
2
2
x y e
-
= 在区间 是凸的
4．点(1,2)是32y ax bx =+的拐点，则a = ，b =
5．曲线
ln(1)
2
x y x -=
-的水平渐近线是 ，垂直渐近线是
6．曲线2
3
33x t y t t
⎧=⎪⎨=-⎪⎩在对应于1t =的点处的曲率K =
二.单项选择题 7．函数
()(1)(2)(3)f x x x x =---，则方程有()0f x '=有【 】
A ．一个实根 B. 二个实根 C. 三个实根 D. 无实根 8. 极限2
cos5lim
cos3x x
x
π
→
=【 】
A ．
53 B. 1 C. 1- D. 53
- 9. 当0x →时，2(1)x
e ax bx -++是比2x 高阶无穷小，则【 】
A ．1
2a
=
，1b = B. 1a =，1b = C. 1
2
a =-，1
b = D. 1a =-，2b =-
10．若2
()()
lim
1()x a
f x f a x a →-=--，， 则x a =处【 】
A ．()f x 导数存在且()0f a '≠ B. ()f x 取极大值 C ．()f x 取极小值 D. ()f a '不存在
11.
()f x 在x a =某邻域内有三阶连续导数，且()()0f a f a '''==，()0f a '''≠，则【 】
A ．x
a =是()f x 的极小值点 B. x
a =是()f x 的极大值点
C. (())a f a 是曲线()y f x =的拐点
D. x a =不是()f x 的极值点，(())a f a 不是曲线()y f x =的拐点
12.
()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，
则曲线
()y f x =在[,]a b 上【 】
A ．上升且为凸的 B. 上升且为凹的 C. 下降且为凸的 D. 下降且为凹的
三.求下列极限
13．302lim x x x e e x
x
-→-- 14. 2ln(1)lim ln x x x →+∞+ 15．2
1lim 1sin x x
x x →∞
⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
16. 11lim 1ln x x x x →⎛⎫- ⎪-⎝
⎭ 17．()
1
21cos 0lim 1x x
x x e -→+ 18.
1
ln lim tan 2x
x arc x π→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭
四．解答下列各题 19．设
()f x 在[0,]π上连续，在(0,)π内可导，证明在(0,)π内至少存在一点ξ，
使()()cot f f ξξξ'=-
20.设
()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数， 且()()0f a f b ==，()0f c >
(a c b <<)，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈ 使()0f ξ''<
21．证明：当1x ≥时，2
2arctan arcsin 1x
x x
π+=+ 22．已知a b e >>，证明 ：b
a a
b <
23.
()f x 在[0,)+∞上连续 且(0)0f =， ()f x '在(0,)+∞内单调增加，
求证：
()
f x x
在(0,)+∞内单调增加 24．已知函数
32()26187f x x x x =-+++
（1）求函数()f x 的单调区间与极值
（2）曲线
()y f x =图形凹凸区间与拐点
25.（1）0x
>时，证明：ln(1)x x +<
（2）01q <<，2ln(1)ln(1)ln(1)n n x q q q =++++
++，证明：lim n n x →∞
存在
26．设
2()n n f x x x x =++
+ (2,3,)n =
（1）证明：方程
()1n f x =在(0,)+∞内有惟一的实根n x
（2） 证明：lim n n x →∞
存在，并求lim n n x →∞
27. 在抛物线
21y x =- (01x <≤)找一点M ，过点M 作该抛物线的切线， 使切线
与两坐标轴围成的三角形的面积最小 28．设3
333x
xy y -+=确定y 是x 的隐函数，求()y y x =的驻点并判别是否为极值点
参考答案与提示
一. 1. 11
(]22
-
, 2. 2a = 3. [1,1]- 4. 1,3a b =-= 5. 0,1y x == 6. 1
6
二. 7. B 8. D 9. A 10. B 11. C 12. B 三. 13.
13 14. 2 15. 16 16. 12
17. 2e 18. 1e - 四. 19. 提示：设()()sin F x f x x = 应用Rollee 定理
20. 提示：()f x 分别在[,]a c [,]c b 上应用Lagrange 中值定理，得12a c b ξξ<<<<
()f x '在12[,]ξξ用Lagrange 中值定理
21. 提示：令2
2()arctan arcsin 1x
f x x x =++，证明在(1,)+∞内()0f x '=
22．提示：令
ln ()x
f x x =
，判别()f x 在[,)e +∞上单调性 23. 提示：令()()f x F x x =， 求导得2
()()
()x f x f x F x x
'-'= 由Lagrange 中值定理得，
()(0)()(0)f x f f x ξ'-=- 0x ξ<<
即
()()f x x f ξ'= 代入()F x '表达式， 再由()f x '单调性 得证
24．(1) 函数()f x 在(,1]-∞- 和[3,)+∞单调减少 ， 在[1,3]-上单调增加
(1)3f -=- 是()f x 极小值， (3)61f = 是()f x 的极大值
(2)曲线()y f x =的凹区间是(,1]-∞，凸区间是[1,)+∞ ，拐点(1,29)
25. (1) 利用单调性证明 (2)利用(1)和极限存在准则Ⅱ 26. (1)令()
()1n n F x f x =-利用单调性和零点定理
(2) 由(1)得 01n x <<
由
11()()n n n f x f x x ++=+得 1
1()0n n n n F x x ++=> 根据零点定理
知方程
1()1n f x +=在(0,)n x 内有根，从而1n n x x +<
{}n x 单调减少有下界，利用极限存在准则Ⅱ，lim n n x →∞
存在
记lim n
n x a →∞
=存在 且01a ≤<，由1
2
1n n
x x x x x x
+-++
+=
- (1)x ≠
方程化为
111n x x x +-=- 由n x 为方程的根得1
11n n n n
x x x +-=- 注：1
lim 0n n
n x +→∞= 两边取极限得
11a a =- 解之得a =1
2
27． 设点M 的坐标为2(,1)t
t -，写出点M 的切线方程，求得在两坐标轴上的截距
求出三角形面积表达式
311
(2)4A t t t =++ 01
t <≤
求
A 的最值 , 得点2
,)33
M 为所求的点 28．隐函数方程求导得 22y x y y x -'=- ， 222222
(2)(2)
()x y x y y x xy y y y x '--+-+''=-
令0dy dx = 得2
0y x -= 与方程联立2
3
3
033
y x x xy y ⎧-=⎪⎨-+=⎪
⎩ 得驻点1x =- 和x = 又
(
1)10y ''-=>，10y ''=-<
由极值第二充分条件 得1x =-为极小值点， x
=。