∫
G ( r , r ′ ) ∇ ′ψ − ψ∇ ′G ( r , r ′ ) i en dS ′ = − ∫ ψ ( r ′ ) δ ( r − r ′ ) dV ′ ′ S V
根据δ函数的性质，得 函数的性质，
−ψ ( r ) , r 位于V内 ∫ S G ( r , r ′ ) ∇′ψ −ψ∇′G ( r , r ′ ) ien′ dS ′ = 0，r 位于V 外
电子科技大学
是惠更斯原理的数学表达式 积分式中的因子 e jkR ( 4π R ) 表示从表面S上的点 ′ 向体积V 表示从表面 上的点r 向体积 上的点 内的点r 传播的波， 内的点 传播的波，其波源强度由边界值确定 曲面S上的每一点可以看作次级波源， 区域V内的波可看作 曲面 上的每一点可以看作次级波源，区域 内的波可看作 上的每一点可以看作次级波源 曲面上所有次级波源所发出的波的叠加
亮区 入射线 过渡区
阴影区
电子科技大学
10.2.1 几何绕射理论
几何绕射理论是经典几何光学法的推广。 几何绕射理论是经典几何光学法的推广。 几何绕射理论认为：除了几何光学的入射线、 几何绕射理论认为：除了几何光学的入射线、反射线和透射 线外，还存在一种绕射线 绕射线。 线外，还存在一种绕射线。
关于绕射线的概述 产生于散射体表面几何形状或电特性不连续的地方 不仅可以进入几何光学亮区， 不仅可以进入几何光学亮区 ， 而且可以进入几何光学阴影 区 解决了几何光学在阴影区失效的问题， 解决了几何光学在阴影区失效的问题 ， 同时完善了亮区的 几何光学解 其初始幅度由绕射系数确定
电子科技大学 所以，区域V中任意点 处的场只是由S 上的次波源产生， 中任意点r处的场只是由 所以 ， 区域 中任意点 处的场只是由 0 上的次波源产生 ， 中的积分只需要在S 上进行， 式①中的积分只需要在 0上进行，即有 e jkR 1 R ′ψ ( r ′ ) + jk 1 + j ′ ) i en dS ′ ′ ψ (r ) = − ∫ Rψ (r ∇ S0 4π R kR 如果屏右边的观察点很远，即考虑远场衍射（夫琅和费衍射） 如果屏右边的观察点很远，即考虑远场衍射（夫琅和费衍射）， 上式可以简化为以下形式： 上式可以简化为以下形式： e − jkr ψ (r ) = − 4π r
( )
ρc e − jks sd ( ρc + sd )
d
Q1
Q2
电子科技大学
S
P
sd
尖顶绕射射线场 电磁波入射到圆锥顶点、 角锥顶点或平面扇形体的拐角点 电磁波入射到圆锥顶点 、 形成的顶点时， 会发生尖顶绕射。 形成的顶点时 ， 会发生尖顶绕射 。 投射到理想导体尖顶的入 射射线将激起无穷多条从尖顶向所有方向发射的绕射射线， 射射线将激起无穷多条从尖顶向所有方向发射的绕射射线 ， 尖顶绕射射线离开绕射点后服从几何光学定律。 尖顶绕射射线离开绕射点后服从几何光学定律 。 尖顶绕射场 可以表示为： 可以表示为： E i rQ i De − jksd E d ( rP ) ≈ e d s 其中， 为并矢尖顶绕射系数。 其中，De为并矢尖顶绕射系数。
ki S1 S0 en V S2
边界条件分析： 边界条件分析： 小孔孔面S 小孔孔面 0上 ψ , ∂ψ ∂n 与入射波相同 忽略边缘效应后，S1上 ψ , ∂ψ ∂n 处处为零 忽略边缘效应后，
电子科技大学
半球面S 半球面 2上的边条件可以由下述方法求得 设坐标原点在小孔中心处， 表示S 设坐标原点在小孔中心处，以r′表示 2上的一点，以r表示区 表示 上的一点， 表示区 域内距离小孔中心有限远处的任一点， 域内距离小孔中心有限远处的任一点，则在无限远处有 e jkr ′ ψ ( r ′ ) = f (θ ′ , ϕ ′ ) 与方向相关的函数 r′ ∂ψ ( r ′ ) 1 ′ = − en i∇ ′ψ ( r ′ ) = jk − ψ ( r ′ ) r′ ∂r ′ R 将上面两式代入式①，并且注意到 R → ∞时， ≈ e′ ,且 1 ≈ 1 ， 将上面两式代入式① n R R r′ 得在S 得在 2上有 1 R ′ψ ( r ′ ) + jk 1 − j ′ ) i e′ ≈ 0 Rψ (r ∇ kr ′
( )
ρc e − jks sd ( ρc + sd )
E
d
( rP ) ≈ E ( rQ )iT ( Q1 , Q2 )
i
为并矢传输函数，与入射点Q 和出射点Q 的位置、 式中 E i rQ 为并矢传输函数，与入射点 1和出射点 2的位置、 表面几何性质和电磁性质有关，如图。 表面几何性质和电磁性质有关，如图。
∇ 2G ( r , r ′ ) + k 2G ( r , r ′ ) = −δ ( r − r ′ )
用格林函数G替换 替换， 将格林公式中的 ϕ 用格林函数 替换 ， 并将积分变为对源点坐 标积分， 标积分，同时考虑格林函数的对称性 G ( r , r ′ ) = G ( r ′, r ) ，得
代入格林函数，即可得到基尔霍夫公式： 代入格林函数，即可得到基尔霍夫公式： e jkR 1 R ′ψ ( r ′ ) + jk 1 + j ′ ) i en dS ′ ① ′ ψ (r ) = − ∫ Rψ (r ∇ S 4π R kR
关于基尔霍夫公式的讨论 将区域内任一点r处的场用边界值表示 将区域内任一点 处的场用边界值表示
∫
S0
′ e − jk i r ′ en i∇ ′ψ ( r ′ ) + j k i enψ ( r ′ ) dS ′ ′
理想导体屏上的小孔衍射 设理导体屏上有一个小孔， 一个平行极化的平面波以θ 设理导体屏上有一个小孔 ， 一个平行极化的平面波以 1 为 入射角入射，如图。 入射角入射，如图。假设平面波为
电子科技大学 边缘绕射射线场 射线入射在物体的边缘时会发生边缘绕射。 射线入射在物体的边缘时会发生边缘绕射。 一条入射线将激励起无穷多条绕射线， 一条入射线将激励起无穷多条绕射线 ， 绕射线都位于一个 圆锥面上，称为凯勒圆锥 凯勒圆锥。 圆锥面上，称为凯勒圆锥。 凯勒圆锥
绕射线 绕射点
关于凯勒圆锥的概述
值。 ψ ( r ′ ) = ψ 0e − jk i r ′ , 其中ψ 0为原点处的ψ 值。
1
电子科技大学 可以得到空间屏右边远处任意点r处的场为 处的场为： 可以得到空间屏右边远处任意点 处的场为： je − jkr j k k ir′ ψ (r ) = − k ( cos θ1 + cos θ 2 ) ∫ ψ 0 e − ( 1 − 2 ) dS ′ S0 4π r 当平面波垂直入射时， 且设电场在y 当平面波垂直入射时， 令 θ1 = 0, θ 2 = θ , k2 = k ，且设电场在 方向， 方向，则可以得到上半空间任意点的电场 jke − jkr E=− ( 1 + cos θ ) ∫ S0 E y 0e − jk i r ′ dS ′ 4π r P y 屏
电子科技大学 几何绕射理论概念 几何绕射理论（ 几何绕射理论（OTD）由凯勒于 ）由凯勒于1951年在几何光学的基础上 年在几何光学的基础上 提出，其基本概念为： 提出，其基本概念为： 绕射场沿绕射射线传播，其轨迹遵循广义费马原理 遵循广义费马原理， 绕射场沿绕射射线传播 ， 其轨迹 遵循广义费马原理 ， 即射 线沿从源点到场点取极值（最短） 线沿从源点到场点取极值（最短）的路径传播 在高频极限情况下， 在高频极限情况下 ， 反射和绕射现象只取决于反射点和绕 射点邻域的电磁特性和几何特性，这就是局部性原理 射点邻域的电磁特性和几何特性，这就是局部性原理 离开绕射点后， 绕射线遵守几何光学定律， 离开绕射点后 ， 绕射线遵守几何光学定律 ， 即在绕射射线 管的能量守恒， 管的能量守恒，沿绕射线路径的相位延迟等于波数与距离之积 射线管：由射线组成， 射线管： 由射线组成，场线限制在 管内，能量在其中传播， 管内 ，能量在其中传播，任意截面上 通过的能量相同。 通过的能量相同。
入射线
尖劈
圆锥面顶点在绕射点 圆锥轴为绕射点所在边缘或边缘的切线 绕射线分布在圆锥面上
边缘
圆锥半顶角等于入射线与边缘或边缘切线的夹角
绕射场可以用入射场和绕射系数表示为： 绕射场可以用入射场和绕射系数表示为：
电子科技大学
d
E
d
( rP ) ≈ E ( rQ )iDe
i
其中， 为绕射点Q处的入射场 处的入射场， 为并矢边缘绕射系数， 其中，E i rQ 为绕射点 处的入射场，De为并矢边缘绕射系数， sd为绕射点 到场点 的距离， 为绕射点Q到场点 的距离， 到场点P的距离 为与场源和场点位置有关的 ρc 边缘绕射射线的焦散距离。 边缘绕射射线的焦散距离。 表面绕射射线场 电磁波掠入射到光滑曲面上时， 将产生表面绕射， 电磁波掠入射到光滑曲面上时 ， 将产生表面绕射 ， 表面绕 射场可表示为： 射场可表示为：
第10章 章
10.1.1 衍射问题
电磁波的衍射和散射
电子科技大学
10.1 电磁波的衍射
电磁波在传播过程中遇到障碍物或者透过小孔时， 电磁波在传播过程中遇到障碍物或者透过小孔时 ， 其传播 方向会发生改变，这种现象称为电磁波的衍射。 方向会发生改变，这种现象称为电磁波的衍射。 口面天线和缝隙天线的辐射属于衍射问题。 口面天线和缝隙天线的辐射属于衍射问题。 光学中分析光的衍射利用惠更斯原理。 光学中分析光的衍射利用惠更斯原理 。 电磁波衍射的研究 则利用基尔霍夫公式－惠更斯原理的数学公式。 则利用基尔霍夫公式－惠更斯原理的数学公式。
10.1.2 基尔霍夫公式
基尔霍夫公式是将封闭区域内的标量场用其边值来表示。 基尔霍夫公式是将封闭区域内的标量场用其边值来表示。设 无源封闭区域V，其边界为S， 无源封闭区域 ，其边界为 ，区域外的电流和磁流源在观察点 P(r)处产生的标量场为ψ，则标量场ψ满足亥姆霍兹方程 处产生的标量场为