常见函数的抽象函数单调性与奇偶性
特殊模型抽象函数
正比例函数:
幂函数:或
指数函数:
对数函数:
正、余弦函数:
正切函数:
余切函数:
1.已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数.
2.奇函数在定义域内递减，求满足的实数的取值范围.
3.如果=(a>0)对任意的有,比较的大小.
4.已知函数对任意实数均有且当时求在区间上的值域.
5.已知函数对任意满足条件，且当时，求不等式的解.
6.设函数的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何和成立,求：
（1）；
（2）对任意值,判断值的正负.
7.是否存在函数，使下列三个条件：同时成立？若存在，求出的解析式，如不存在，说明理由.
8.是定义在上的单调增函数，满足
求：（1）
（2）若求的取值范围.
9.设函数的反函数是如果那么是否正确，试说明理由.
10. 己知函数的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当
是定义域中的数时，有是定义域中的一个数）；③当时，f试问：
（1）的奇偶性如何？说明理由.
（2）在上,的单调性如何？说明理由.
11. 已知函数对任意实数都有且当时， .（1）判断的奇偶性；（2）判断在上的单调性，并给出证明；（3）若
，求的取值范围.
12. 设f(x)定义于实数集上，当
时，
，且对于任意实数x、y，有
，
求证：
在R上为增函数.
13.已知函数
对任意不等于零的实数
都有
，试判断函数f(x)的奇偶性.
14.定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有
，且当x>0时，0<f(x)<1。

判断f(x)的单调性.
15. 设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)
在[-3，3]上的最大值和最小值.
16.设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数.
17. 已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x
,x2都有，且当时，（1）f(x)在(0,+∞)上是增函数；（2）解不等1
式
18.已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,当x>－时，f(x)>0.求证：f(x)是单调递增函数.
19.定义在R+上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(x m)=mf(x); ②f(2)=1.
(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立;(2)证明f(x)是R+上的单调增函数;(3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围.
20. 已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f（x）的奇偶性.
21. 已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足，（2）存在正常数a，使f(a)=1.求证：f(x)是奇函数.
22. 定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都
有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
23. 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b都满足f(ab)=af(b)+bf(a).
(1)求f(0)，f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
24. 已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1,若a,b∈［－1,1］,a+b≠0时，有＞0.
(1)判断函数f(x)在［－1，1］上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；
（2）解不等式：f(x+)＜f();。