2020届黑龙江省哈三中高三第五次模拟考试理科数学试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知复数i i z i a z (2,321+=-=为虚数单位)，若21z z 是纯虚数，则实数=aA ．23-B ．23C ．3-D ．3 2． 已知集合2{|230,}A x x x x Z =--≤∈，集合{|0}B x x =>，则集合A B I 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3． 已知向量(2,3)=-a ，b (3,)x =，若a //b ，则实数=xA ．2-B ．2C ．29-D ．294． 设2log 3a =，13log 2b =，20.4c =，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >> 5． 将函数x y 2sin =的图象向左平移6π个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为 A ．)3sin(π+=x y B ．)6sin(π+=x y C ．)3sin(π-=x y D ．)34sin(π+=x y6． 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在我们熟悉的“进位制”，右图所示的是一位母 亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天 数是A ．27B ．42C ．55D ．210 7． 设公比为3的等比数列}{n a 前n 项和为n S ，且313S =，则567a a a ++= A ．3 B ．9 C ．27 D ．81 8． 某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是上底为1，下底为2，高为1的直角梯形，俯视图为四 分之一个圆，则该几何体的体积为A ．3π B ．23πC ．πD ．43π9．已知函数())4f x x π=+，1()'()f x f x =，21()'()f x f x =，32()'()f x f x =，…，依此类推，2020()4f π=AB． C ．0 D．10．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱11B C 的中点，则平面1AD E 截该正方体所得的截面面积为A． B． C ．4 D ．9211．给出下列命题，其中真命题为① 用数学归纳法证明不等式111112...(2,)23422n n n n N --++++>≥∈时，当1(2,)n k k k N =+≥∈时，不等式左边应在(2,)n k k k N =≥∈的基础上加上12k ；② 若命题p ：2000,220x R x x ∃∈-+<，则2:,220p x R x x ⌝∀∈-+≥；③ 若0,0,4a b a b >>+=，则112ab ≥； ④ 随机变量2~(,)X N μσ，若(2)(0)P X P X >=<，则1μ=． A ．①②④ B ．①④ C ．②④ D ．②③12．已知R b a ∈,，则222)21()(b a b a --+-的最小值为正视图 侧视图A ．42B ．81C ．22D ．41第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为 ．14．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，2,3211=+=++a n a a n n ，则11S = ．15．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对突发灾难，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中．为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学生志愿者团队开展“爱心辅导”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现安排甲、乙、丙三名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物四门学科，每名志愿者至少辅导一门学科，每门学科由一名志愿者辅导，共有 种辅导方案．16．设'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导数，当0x >时，()'()ln 0f x f x x x +⋅<，则不等式(1)()0x f x ->的解集为 ．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．满足A b a c cos 22+=．（1）求B ；（2）若3,5==+b c a ，求ABC ∆的面积．18．(本小题满分12分)为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应中央号召，因地制宜出台了系列房价调控政策．某市拟定出台“房产限购的年龄政策”．为了解人们对“房岁的人群产限购年龄政策”的态度，在年龄为2060:中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“房产限购”的人数与年龄的统计结果如图所示：（1）由以上统计数据填22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异？（2）若以44岁为分界点，从不支持“房产限购”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加政策听证会，现从这8人中随机抽2人．记抽到44岁以上的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19．(本小题满分12分)如图①，在平面五边形ABCDE 中，ABCD 是梯形，AD //BC ，AD =BC 2=22，3=AB ，90∠=︒ABC ，ADE ∆是等边三角形．现将ADE ∆沿AD 折起，连接EB ，EC 得如图②的几何体．（1）若点M 是ED 的中点，求证：CM //平面ABE ；（2）若3=EC ，在棱EB 上是否存在点F ，使得二面角F AD E --的余弦值为322？若存在，求EBEF的值；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)已知抛物线:C 22(0)y px p =>的焦点F 是椭圆13422=+y x 的一个焦点． （1） 求抛物线C 的方程；（2） 设,,P M N 为抛物线C 上的不同三点，点(1,2)P ，且PM PN ⊥．求证：直线MN 过定点．21．(本小题满分12分)已知函数()2ln f x x ax =-()a R ∈．（1） 当1a =时，求证：当1x ≥时，()1f x ≤-； （2） 若函数()f x 有两个零点，求a 的值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 1cos 1t y t x （t 为参数，0απ≤<），以O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 8)2cos 1(=-．（1） 求曲线C 的直角坐标方程及直线l 在x 轴正半轴及y 轴正半轴截距相等时的直角坐标方程； （2） 若3πα=，设直线l 与曲线C 交于不同的两点B A ,，点)1,1(P ，求PB PA 11-的值．23．[选修4-5：不等式选讲] (本小题满分10分)已知函数)0,0()(>>++-=b a b x a x x f ，． （1） 当3,1==b a 时，求不等式6)(<x f 的解集； （2） 若)(x f 的最小值为2，求证：11111≥+++b a ．数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题：二、填空题：13.y = 14.77 15.36 16.(0,1)三、解答题：17. （1）由题知A B A C cos sin 2sin sin 2+=，………………………………….……2分 则A B A B A cos sin 2sin )sin(2+=+，则A B A sin cos sin 2=,在ABC ∆中,0sin ≠A ,所以21cos =B ,…………………………4分则3π=B ……………………………………………………………………………..………6分（2）由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=,从而得ac c a ac c a 3)(9222-+=-+=，…………………………….…………………9分又5=+c a ，所以316=ac ，所以ABC ∆的面积为334.……………….……………12分18.（1）由统计数据填22⨯列联表如下:计算观测值20100(3554515)256.25 3.841505080204k ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯，..................................4分所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异； ..............................................................................................5分（2）由题意可知抽取的这8人中，44岁以下的有6人，44岁以上的有2人，..........6分 根据题意，X 的可能取值是0，1，2,..................................................................................7分计算()262815028C P X C ===，()116228317C C P X C ⋅===，()22281228C P X C ===，.....................................................................................................10分可得随机变量X 的分布列为：故数学期望为012287282EX =⨯+⨯+⨯=（）．......................................................12分19.（1）取EA 中点N ,连接MN ,BN ,则MN 是EAD ∆的中位线,1//,.21//,,//.2,,//.MN AD MN AD BC AD BC AD BCMN CM BN CM ABE BN ABE CM ABE ∴==∴∴⊄⊂∴Q 且且四边形是平行四边形，又平面平面平面.................................................................................................................................................5分 （2）取AD 中点O ,连接OE OC ,,易得AD OE ⊥,AD OC ⊥. 在COE ∆中，由已知62223,3,3=⨯====OE AB OC CE . .,222OE OC CE OE OC ⊥∴=+Θ以O 为原点，分别以射线OE OA OC ,,为z y x ,,轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系， 则).6,0,0(),0,2,0(),0,2,3(),0,2,0(E D B A -...................................................7分 则).0,22,0(),6,2,0(),6,2,3(-=-=-= 假设在棱EB 上存在点F 满足题意，设)10(≤≤=λλ,则EF λ=u u u r，)66,2,2,3(λλλ--=+=. 设平面ADF 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，则0,0,m AF m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r 即⎩⎨⎧=-=-+-+,022,0)66()22(3λλλλz y x 令1=z ，得平面ADF 的一个法向量).1,0,)1(2(λλ--=m .......................................9分又平面EAD 的一个法向量)0,0,1(=n ，.........................................................................10分由已知322,cos =n m ，3221)1(2)1(22=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡----∴λλλλ， 整理得01232=-+λλ，解得)1(31舍去-==λλ， ∴在棱EB 上存在点F ，使得二面角F AD E --的余弦值为322，且31=EB EF ...12分 20.（1）依题意，2,12==p p，所以x y C 4:2=………………………..……………4分 （2）设直线MN 的方程为n my x +=，与抛物线联立得0442=--n my y ， 设),(),,(2211y x N y x M ，由PN PM ⊥得0)2,1()2,1(2211=--⋅--y x y x ………6分 化简得0584622=+---m m n n ，………………………………………….…………8分解得52+=m n 或12+-=m n （舍）…………………………………….……………10分 所以直线MN 过定点)2,5(-………………………………………………..……………12分 21.（1）当1a =时，()()2ln 2ln 1h x x x x f x x x x-'=-==………..………….…….1分 则()221x h x x x-+'=-=，由于2y x =-+在()1,+∞上单调递减，存在唯一零点2x = 知()h x ：..................................................................................................................................................3分 知()1,x ∈+∞时，()()()22ln 210h x h ≤=-<，即()0f x '<恒成立知()f x 为()1,+∞上的减函数，即()()11f x f ≤=-，证毕；....................................5分（2）等价于2ln x a x =有两个零点，设函数()2ln xg x x =..............................................6分 ()()22ln ln 0x x g x x-'=≥，解得()ln 2ln 0x x -≤，即0ln 2x ≤≤知()g x ：..................................................................................................................................................9分 当0x →时，()g x →+∞；极小值为()10g =；极大值为()224g ee=；()g x 在()2,e +∞上单调递减，由于()0g x >，当x →+∞时，()0g x →，故()g x 在()2,e +∞上的值域为240,e ⎛⎫⎪⎝⎭综上，()g x a =有两个零点，有24a e =，即当24a e=时，()f x 有两个零点…….12分 22.（1）由θθρcos 8)2cos 1(=-得θθρcos 4sin 2=，所以θρθρcos 4sin 22=，由y x ==θρθρsin ,cos ，得曲线C 的直角坐标方程为x y 42=…………….…….3分当直线l 在x 轴正半轴及y 轴正半轴截距相等时,1tan -=α,由,sin 1cos 1⎩⎨⎧+=+=ααt y t x 得1tan 11-==--αx y ，所以2x y +=， 即此时直线l 的直角坐标方程为02=-+y x …………………………………..………5分（2）当3πα=时，直线l的参数方程为112,12x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数） 将直线l 的参数方程带入x y 42=，得211412t ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，232)304t t +-=，12124(243t t t t +=-=-，………..……………...…….8分故12121211112||||3t t PA PB t t t t +--=-==…………………………………...…..10分 23.（1）依题意631<++-x x ，解集为)2,4(-……………………………...………5分 （2）b a b a b x a x b x a x x f +=--=+--≥++-=)()()(，所以2=+b a …7分1)11112(41)1111)(11(411111≥++++++=++++++=+++b a a b b a b a b a ……….……10分。