典型例题 1
求下列函数的导数: (1)y=(2x2+3)(3x-2); (2)y=x2sinx+2cosx; (3)y=( x+1)( 1 -1). x
解: (1)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2) =4x(3x-2)+(2x2+3)3 =18x2-8x+9. 法2 y=(6x3-4x2+9x-6) =18x2-8x+9. (2)y=(x2sinx)+(2cosx) =(x2)sinx+x2(sinx)+2(cosx) =2xsinx+x2cosx-2sinx.
典型例题 5
典型例题 6
1-ax 已知 a>0, 函数 f(x)= x , x(0, +∞), 设 0<x1< 2 . 记曲线 a y=f(x) 在点 M(x1, f(x1)) 处的切线为 l. (1)求 l 的方程; (2)设 l 与 x 1 1 1 轴的交点为 (x2, 0), 证明: ① 0<x2≤ a ; ②若 x1< a , 则 x1<x2< a . 1 1 (1)解: f(x)=( x -a)=(x-1) =-x-2=- x2 . 1 (x-x )+ 1-ax1 . ∴切线 l 的方程为 y=- x 2 1 x
∵f(0)=2a, ∴b=2a. ∴f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a =x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a) =(x-a)(x2-x-2)
=(x+1)(x-2)(x-a)
令 (x+1)(x-2)(x-a)<0, 由于 a≥2, 则 当 a=2 时, 不等式 f(x)<0 的解集为(-∞, -1); 当 a>2 时, 不等式 f(x)<0 的解集为(-∞, -1)∪(2, a).
∵g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0),
∴4b+c=0. 又g(x)=2bx, 4b=g(2)=f(2)=16, ∴b=4. ∴c=-16. ∴g(x)=4x2-16. 综上所述, f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16.
课后练习 7
设函数 y=ax3+bx2+cx+d 的图象与 y 轴的交点为 P 点, 且曲线 在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0. 若函数在 x=2 处取得极值 0, 试确定函数的解析式. 解: 由已知, P 点的坐标为(0, d). ∵曲线在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0, ∴120. 解得: d=-4. 又切线斜率 k=12, 故函数在 x=0 处的导数 y|x=0=12. 而 y=3ax2+2bx+c, y|x=0=c, ∴c=12. ∵函数在 x=2 处取得极值 0, ∴y|x=2=0 且当 x=2 时, y=0. 12a+4b+12=0, 故有 8a+4b+20=0. 解得 a=2, b=-9. ∴y=2x3-9x2+12x-4.
1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 1 - 2 -1)+(x +1)(x 1 2 1 - 2 -1) +1)(x
典型例题 2
已知 f(x) 的导数 f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2, 且 f(0)=2a, 若 a≥2, 求不等式 f(x)<0 的解集. 解: ∵f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2, ∴可设 f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+b.
课后练习 6
已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2, 0), 且 在点 P 处有公共切线, 求 f(x)、g(x) 的表达式.
解: ∵f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0), ∴a=-8. ∴f(x)=2x3-8x. ∴f(x)=6x2-8.
1 2 2 x -2x+5. (1)求函数 f(x) 的单调递增、递减区间; (2)当 x[-1, 2] 时, f(x)<m 恒成立, 求实数 m 的取值范围. 设 f(x)=x3解: (1)由已知 f(x)=3x2-x-2, 令 f(x)<0 得 - 2 <x<1; 令 f(x)>0 得 x<- 2 或 x>1. 3 3 2 , 1); ∴y=f(x) 的单调递减区间是 (- 3 2 单调递增区间是 (-∞, - 3 ) 和 (1, +∞). (2)命题等价于 f(x) 在 [-1, 2] 上的最大值小于 m. 2 令 f(x)=0 得 x=- 3 或 1. 22 2 1 1 ∵f(-1)=5 2 , f(- 3 )=5 27 , f(1)=3 2 , f(2)=7, ∴f(x) 在 [-1, 2] 上的最大值为 7. ∴7<m. 故实数 m 的取值范围是 (7, +∞).
课后练习 1
1 + 1 ; (2)y=cos( 1 x2-4); 2 1+ x 1- x (3)y=(sinx)cosx. 2 . 2 -1, ∴y=-2(1-x)-2(1-x) = 解: (1)∵y= 1-x =2(1-x) (1-x)2 (2)y=-sin( 1 x2-4)( 1x2-4) =-xsin( 1 x2-4). 2 2 2 求下列函数的导数: (1)y= (3)∵y=(sinx)cosx=ecosxlnsinx, ∴y=(ecosxlnsinx) =ecosxlnsinx(cosxlnsinx) =(sinx)cosx[-sinxlnsinx+cosx(lnsinx)] cosx(-sinxlnsinx+cosx 1 cosx) =(sinx) sinx =(sinx)cosxsinx(cot2x-lnsinx) =(sinx)1+cosx(cot2x-lnsinx)
已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2, 0), 且 在点 P 处有相同的切线. (1)求实数 a, b, c 的值; (2)设函数 F(x) =f(x)+g(x), 求 F(x) 的单调区间, 并指出函数 F(x) 在该区间上的 单调性. 解: (1)∵f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0), ∴223+2a=0. ∴a=-8. ∴f(x)=2x3-8x. ∴f(x)=6x2-8. ∴f(2)=622-8=16. ∵g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0), ∴4b+c=0. 又g(x)=2bx, 4b=g(2)=f(2)=16, ∴b=4. ∴c=-16. 综上所述, 实数 a, b, c 的值分别为 -8, 4, -16. (2)由(1)知 f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16. ∴F(x)=2x3+4x2-8x-16. ∴F(x)=6x2+8x-8. 由 F(x)>0 得 x<-2 或 x> 2 ; 3 2 由 F(x)<0 得 -2<x< 3 . ∴F(x) 的单调区间为: (-∞, -2)、 (-2, 2 ) 和 ( 2 , +∞), 并且 F(x) 在 (-2, 2 ) 上是减函数, 在 3 3 3 (-∞, -2) 上是增函数, 在 ( 2 , +∞)上也是增函数. 3
1 1
(2)证: 依题意, 在切线 l 的方程中令 y=0, 得 x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1), 其中 0<x1< 2 . a ∴ax1<2, ∴2-ax1>0. 又 x1>0, ∴x2=x1(2-ax1)>0. 1 1 1 1 1 ①当 x1= a 时, x2=-a(x1- a )2+ a 取得最大值 a ,∴0<x2≤ a . 1 1 ②当 x1< a 时, ax1<1, ∴x2=x1(2-ax1)>x1. 又由①知 x2< a , 1 ∴x1<x2< a .
课后练习 4
求函数 f(x)=ln(1+x)- 1 x2 在区间 [0, 2] 上的最大值和最小值. 4 1 解: f(x)= 1+x - 1 x, 对于 x[0, 2], 2 令 f(x)>0 得 0≤x<1; 令 f(x)<0 得 1<x≤2. ∴f(x) 在 [0, 1) 上为增函数, 在 (1, 2] 上为减函数. ∴f(1)>f(2). 1 又∵f(0)=0, f(1)=ln2- 4 , f(2)=ln3-1>0, ∴f(0)=0 为函数 f(x) 在区间 [0, 2] 上的最小值; f(1)=ln2- 1 为函数 f(x) 在区间 [0, 2] 上的最大值. 4
∴-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0), 即 y0=3x03+3x02-6x0-1.
而点 P(x0, y0)在曲线上, 满足 y0=x03+3x02-5, ∴x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1. 整理得 x03-3x0+2=0. 解得 x0=1 或 x0=2. ∴切点为 P(1, -1) 或 P(-2, -1). 故所求的切线方程为 9x-y-10=0 或 y=-1.
课后练习 3
设 f(x)=aex+bln(2+x), 若 f(1)=e, 且 f(-1)= 1 , 求函数 f(x) 的解 e 析式. 解: 由已知 f(x)=[aex+bln(2+x)] =(aex)+[bln(2+x)] b =aex+ 2+x 1 ∵f(1)=e, f(-1)= e , ae+ b =e, ∴ a 3 1 解得 a=1, b=0. e +b= e . ∴f(x)=ex.