第四章 光的电磁理论4－1计算由8(2)exp 610)i y t ⎡⎤=-+++⨯⎢⎥⎣⎦E i 表示的平面波电矢量的振动方向、传播方向、相位速度、振幅、频率、波长。

解：由题意：)81063(2t y x i eE x ⨯++-=)81063(32t y x i e E y ⨯++=∴3-=xy E E ∴振动方向为：j i3+-由平面波电矢量的表达式： 3=x k 1=y k∴传播方向为： j i+3平面电磁波的相位速度为光速： 8103⨯=c m/s 振幅：4)32()2(222200=+-=+=oy x E E E V/m 频率：8810321062⨯=⨯==πππωf Hz 波长：πλ==fcm 4－2 一列平面光波从A 点传到B 点，今在AB 之间插入一透明薄片，薄片的厚度mm h 2.0=，折射率n ＝1.5。

假定光波的波长为5500=λnm ，试计算插入薄片前后B 点光程和相位的变化。

解：设AB 两点间的距离为d ，未插入薄片时光束经过的光程为：d d n l ==01 插入薄片后光束经过的光程为：h n d nh h d n l )1()(02-+=+-= ∴光程差为：mm h n l l 1.02.05.0)1(12=⨯=-=-=∆ 则相位差为：ππλπδ6.3631.010550226=⨯⨯=∆=-4－3 试确定下列各组光波表示式所代表的偏振态： （1）)sin(0kz t E E x -=ω，)cos(0kz t E E y -=ω（2）)cos(0kz t E E x -=ω，)4/cos(0πω+-=kz t E E y （3）)sin(0kz t E E x -=ω，)sin(0kz t E E x --=ω 解：（1）∵)2cos()sin(00πωω--=-=kz t E kz t E E x∴2πϕϕϕ=-=x y∴ 为右旋圆偏振光。

（2）4πϕϕϕ=-=x y∴ 为右旋椭圆偏振光，椭圆长轴沿y ＝x （3）0=-=x y ϕϕϕ∴ 为线偏振光，振动方向沿y ＝－x4－4 光束以30°角入射到空气和火石玻璃（n 2＝1.7）界面，试求电矢量垂直于入射面和平行于入射面分量的反射系数s r 和p r 。

解：入射角︒=301θ，由折射定律：294.0sin sin 212==n θθ ∴︒=1.172θ ∴305.01.47sin 9.12sin )sin()sin(2121-=︒︒-=+--=θθθθs r213.01.47tan 9.12tan )tan()tan(2121=︒︒=+-=θθθθp r4－5 一束振动方位角为45°的线偏振光入射到两种介质的界面上，第一介质和第二介质的折射率分别为n 1＝1和n 2＝1.5。

当入射角为50°时，试求反射光的振动方位角。

解：︒=501θ，由折射定律：51.0sin sin 212==n θθ ∴︒=7.301θ ∴335.07.80sin 3.19sin )sin()sin(2121-=︒︒-=+--=θθθθs r057.07.80tan 3.19tan )tan()tan(2121=︒︒=+-=θθθθp r∴877.545tan 057.0335.0tan tan -=︒-==i p s r r r αα ∴反射光的振动方位角为：︒-=34.80r α4－6 光波在折射率分别为n 1和n 2的二介质界面上反射和折射，当入射角为1θ时（折射角为2θ），s 波和p 波的反射系数分别为s r 和p r ，透射系数分别为s t 和p t 。

若光波反过来从n 2介质入射到n 1介质，且当入射角为2θ时（折射角为1θ），s 波和p 波的反射系数分别为'sr 和'p r ，透射系数分别为's t 和'p t 。

试利用菲涅耳公式证明：（1）'-=s s r r ；（2）'-=p p r r ；（3）s s s T t t ='；（4）p p p T t t ='证明： （1）)sin()sin(2121θθθθ+--=s rs s r r -=+-=+--=')sin()sin()sin()sin(21211212θθθθθθθθ（2）)tan()tan(2121θθθθ+-=p rp p r r -=+--=+-=')tan()tan()tan()tan(21211212θθθθθθθθ（3）)sin(cos sin 22112θθθθ+=s t )sin(cos sin 22121θθθθ+='s t∴)(sin cos sin 4cos sin cos sin )sin(cos sin 2)sin(cos sin 22121222122*********θθθθθθθθθθθθθθθθ+⋅=+⋅+='s s t t s T n n =+⋅=)(sin cos sin 4cos cos 21212221122θθθθθθ （4）)cos()sin(cos sin 2212112θθθθθθ-+=p t )cos()sin(cos sin 2121221θθθθθθ-+='p t∴)cos()sin(cos sin 2)cos()sin(cos sin 2121221212112θθθθθθθθθθθθ-+⋅-+='p p t t )(cos )(sin cos sin 4cos sin cos sin 12212212221221θθθθθθθθθθ-+⋅= )(cos )(sin cos sin 4cos cos 12212212221122θθθθθθθθ-+⋅=n n p T =4－7 如图，M 1、M 2是两块平行放置的玻璃片（n ＝1.5），背面涂黑。

一束自然光以布儒斯特角B θ入射到M 1上的A 点，反射至M 2上的B 点，再出射。

试确定M 2以AB 为轴旋转一周时，出射光强的变化规律。

解：由于M 1、M 2是两块平行放置的玻璃片，因此两镜的入射角均为B θ，且有：︒===31.565.112arctg n n arctgB θ︒=-︒=69.33902B θθ由于两镜背面涂黑，所以不必考虑折射光的影响。

对于M 1：0=p R1479.0)sin()sin(221212=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-==θθθθs s r R因为是自然光入射，p 、s 分量光强相等。

设入射自然光光强为I 0，沿AB 的反射光强为I 1，则M 1的反射率为：01074.0)(21I I R R R p s n ==+=对于M 2，假设在绕AB 旋转的任一位置上，入射面与图面的夹角为θ，则将沿AB 的入射光分解为p 分量和s 分量，其振幅分别为： θsin 1I E p = θc o s 1I E s = ∵入射角为B θ∴0=p r 3846.0)sin()sin(2121-=+--=θθθθs r∴出射光的振幅为：0='p E θcos 3846.01I E r E s s s -=='∴最后的出射光强为：θ2022cos 011.0)(I E I s ='=4－8 望远镜之物镜为一双胶合透镜，其单透镜的折射率分别为1.52和1.68，采用折射率为1.60的树脂胶合。

问物镜胶合前后的反射光能损失分别为多少？（假设光束通过各反射面时接近正入射）解：系统包括4个反射面，由于假设光束通过各反射面时接近正入射，则未胶合时，各面的反射率为：043.0152.1152.11122111=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n R1 1.681.601.52043.0152.11152.111122222=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=n n R 064.0168.1168.11122333=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n R 064.0168.11168.111122444=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n R 设入射到系统的光能为W ，则通过该系统后的光能为：W W W 8.0)064.01)(064.01)(043.01)(043.01(1=----= ∴光能损失为20％同理，胶合后各面的反射率为：043.01=R 00066.0152.16.1152.16.11122222=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=n n R 0006.016.168.116.168.11122333=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=n n R 064.04=R 通过该系统后的光能为：W W W 895.0)064.01)(0006.01)(00066.01)(043.01(1=----= ∴光能损失为10.5％4－9 如图，光束垂直入射到45°直角棱镜的一个侧面，光束经斜面反射后从第二个侧面透出。

若入射光强为I 0，问从棱镜透出的光束的强度为多少？设棱镜的折射率为1.52，解：光束经过三个反射面，通过第一个反射面和第三个反射面时均为垂直入射，其反射率为：043.0152.1152.11122111=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n R043.0152.11152.111122333=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=n n R 在第二个反射面即棱镜的斜面上，入射角为45°。

全反射的临界角为： ︒==14.4152.11arcsinc θ ∴在棱镜斜面上发生全反射，反射光强等于入射光强。

∴从棱镜透出的光束的强度为：0210916.0)1)(1(I R R I I =--='4－10 如图，玻璃块周围介质的折射率为1.4。

若光束射向玻璃块的入射角为60°，问玻璃块的折射率至少应为多大才能使透入光束发生全发射？解：设玻璃的折射率为n 2，则发生全发射的临界角为：24.1arcsinn c =θ ∴224.11cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=n c θ由图中几何关系，折射角c θθ-︒=902 由折射定律：2211sin sin θθn n = ∴22224.11)90sin(60sin 4.1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-︒=︒⨯n n n c θ∴85.12=n4－11 产生圆偏振光的穆尼菱体如图所示，若菱体的折射率为1.65，求顶角A 。

解：光束经过两次全反射，每次反射后s 波和p 波之间的位相差为：122121sin sin cos arctan 2θθθϕn -=∆ 其中1θ是入射角，n 为相对折射率：606.065.11==n 出射后产生圆偏振光，则需要：22πϕ=∆∴8tansin 606.0sin cos 122121πθθθ=-解得：︒=7.591θ 或 ︒=6.401θ1∵要发生两次全反射，则：A ≤β 由图中几何关系可知：1θ=A190θβ-︒=∴︒≥451θ ∴︒=6.401θ不合题意 ∴顶角A 为︒7.594－12 线偏振光在玻璃－空气界面上全反射，线偏振光电矢量的振动方向与入射面成一非零或π/2的角度。