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概率论复习题

函授概率论与数理统计复习题一、填空题1、已知P(A)=P(B)=P(C)=25.0,P(AC)=0,P(AB)=P(BC)=15.0,则A 、B 、C 中至少有一个发生的概率为 0.45 。

2、A 、B 互斥且A=B ,则P(A)= 0 。

3.把9本书任意地放在书架上,其中指定3本书放在一起的概率为 1124. 已知()0.6P A =,()0.8P B =,则()P AB 的最大值为0.6 ,最小值为0.4。

5、设某试验成功的概率为0.5,现独立地进行该试验3次,则至少有一次成功的概率为 0.8756、 已知()0.6P A =,()0.8P B =,则()P AB 的最大值为 0.6 。

,最小值为 0.4 。

7、设A 、B 为二事件,P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(A ∣B )=0.6,则P(A ∪B)= 0.88 。

8、设X 、Y 相互独立,X ~)3,0(U ,Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它,00,41)(41x e x f x,则(253)E X Y -+= -14 ,(234)D X Y -+= 147 。

9.设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A ⋃B ) = ____0.5___; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A ⋃B ) = ___0.58______. 10.已知()0.5,()0.6,()0.2P A P B P A B ===,则()P AB = 0.311.设随机变量 X 在区间 [1, 6] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 3} = ____2/5_______.12.设随机变量 X 的分布函数为,2,1 21 ,6.011 ,3.01 ,0 )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=x x x x x F 则 X 的分布律为 ___________________ ______ .13.若离散型随机变量 X 的分布律为则常数 a = ____0.3_____; 又 Y = 2X + 3, 则 P {Y > 5} = ____0.5_____ .14、设A 、B 为随机事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B |A)=0.8,则P(A+B)=__ 0.7 __。

15.设随机变量 X 服从二项分布 b (50, 0.2), 则 E (X ) = ___10_____, D (X ) = _____8______.16.设随机变量 X ~ N (0, 1), Y ~ N (1, 3), 且X 和 Y相互独立, 则D (3X -2Y)= .17.设随机变量 X 的数学期望 E (X ) = μ, 方差 D (X ) = σ 2, 则由切比雪夫不等式有 P {|X - μ | < 3σ } ≥ _____8/9___.二、选择题1.设A , B , C 是三个随机变量,则事件“A , B , C 不多于一个发生” 的逆事件为( D ).(A) A , B , C 都发生 (B) A , B , C 至少有一个发生 (C) A , B , C 都不发生 (D) A , B , C 至少有两个发生2、射击3次,事件i A 表示第I 次命中目标(I =1,2,3),则事件( D )表示恰命中一次。

(A )321A A A ⋃⋃ (B )()()[]123121A A A A A A --⋃-⋃(C )ABC -Ω (D )321321321A A A A A A A A A ⋃⋃ 3、事件A ,B 为任意两个事件,则( D )成立。

(A ) ()A B B A =-⋃ (B )()A B B A ⊂-⋃ (C )()A B B A =⋃- (D )()B A B B A ⋃=⋃-4、设A 、B 为两事件,且A B ⊂,则下列式子正确的是( A )。

(A )()()A P B A P =⋃ (B )()()A P AB P =(C )()()B P AB P ≠ (D )()()()A P B P A B P -=- 5.设随机变量 X , Y 相互独立, 与 分别是 X 与 Y 的分布函数, 则随机变量 Z = max{X ,Y } 分布函数 为 ( C ).(A) max{, } (B) + -(C) (D)或6、如果常数C 为(B )。

则函数()x ϕ可以成为一个密度函数。

(A )任何实数 (B )正数 (C )1 (D )任何非零实数 7.对任意两个随机变量 X 和 Y , 若 E (XY ) = E (X )E (Y ), 则 ( D ). (A) X 和 Y 独立 (B) X 和 Y 不独立 (C) D (XY ) = D (X )D (Y ) (D) D (X + Y ) = D (X ) + D (Y )8、袋中有5个黑球,3个白球,大小相同,一次随机摸出4个球,其中恰有3个白球的概率为( D )。

(A )53 (B )81535⎪⎭⎫ ⎝⎛ (C )81533⎪⎭⎫ ⎝⎛ (D )485C9.设随机变量 X 的概率密度为 f (x ), 且满足 f (x ) = f (-x ), F (x ) 为 X 的分布函数, 则对任意实数 a , 下列式子中成立的是 ( A ). (A)(B)(C) (D)10.设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0, 1)和N (1, 1),则B 21}0{ )A (=≤+Y X P 21}1{ )B (=≤+Y X P 21}0{ )C (=≤-Y X P 21}1{ )D (=≤-Y X P 11.设 X 1, X 2, …, X n (n ≥ 3) 为来自总体 X 的一个简单随机样本, 则下列估计量中不是总体期望 μ 的无偏估计量的是 ( C ). (A) X (B) 0.1⨯ (6X 1 + 4X 2) (C)(D) X 1 + X 2 - X 3三、计算题1、一批同一规格的产品由甲厂和乙厂生产,甲厂和乙厂生产的产品分别占70%和30%,甲乙两厂的合格率分别为95%和90%,现从中任取一只,则(1)它是次品的概率为多少?(2)若为次品,它是甲厂生产的概率为多少?解:设A =‘次品’,B =‘产品是甲厂生产’依题意有:%70)(=B P ,%30)(=B P ,%5)|(=B A P ,%10)|(=B A P , (1)()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+=065.0%1030%5%70=⨯+⨯(2))()|()()|()()|()|(B P B A P B P B A P B P B A P A B P ⨯+⨯⨯=5385.03.01.07.005.07.005.0≈⨯+⨯⨯=2、某大型连锁超市采购的某批商品中, 甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%,各厂商的次品率分别为4%、2%、5%,现从中任取一件产品,(1) 求这件产品是次品的概率; (2) 若这件产品是次品, 求它是甲厂生产的概率?解:设A 事件表示“产品为次品”,B 1事件表示“是甲厂生产的产品”,B 2事件表示“是乙厂生产的产品”,B 3事件表示“是丙厂生产的产品” (1) 这件产品是次品的概率:)()()()()()()(332211B P B A P B P B A P B P B A P A P ++= 035.02.005.035.002.045.004.0=⨯+⨯+⨯=(2) 若这件产品是次品,求它是甲厂生产的概率:3518035.045.004.0)()()()(111=⨯==A PB P B A P A B P3、用3个机床加工同一种零件,零件由3个机车加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2,各机床加工零件的合格率分别为0.94, 0.9, 0.95,求全部产品中的合格率。

解:设{}任取一件产品为合格品=B产品的事件,分别表示取到三个车间,,,321A A A 则由条件 ()()()2.0,3.0,5.0321===A P A P A P ()()()95.0,90.0,94.0321===A BP A B P A B P由全概率公式()93.095.02.090.03.094.05.0=⨯+⨯+⨯=B P4、设连续型随机变量 X 的概率密度为,其他⎩⎨⎧<<= ,0 0,sin )(πx x A x f求: (1) 常数 A 的值; (2) 随机变量 X 的分布函数 F (x ); (3)}.23{ππ≤≤X P解:(1) A x x A x x f 2d sin d )(10===⎰⎰∞∞-π21=∴A (2) ⎰∞-=xt t f x F d )()(0d 0d )()(0===≤⎰⎰∞-∞-xxt t t f x F x 时,当)cos 1(21d sin 210d d )()(00x t t t t t f x F x xx-=+==<<⎰⎰⎰∞-∞-时,当π 10d d sin 210d d )()(0=++==≥⎰⎰⎰⎰∞-∞-x xt t t t t t f x F x πππ时,当所以⎰∞-=xt t f x F d )()(=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤ππx x x x ,10),cos 1(210,0(3) 414121)3()2(}23{=-=-=≤≤ππππF F X P 5、一个袋中共有10个球,其中黑球3个,白球7个,先从袋中先后任取一球(不放回)(1) 求第二次取到黑球的概率; (2) 若已知第二次取到的是黑球,试求第一次也取到黑球的概率?解:设A 事件表示“第二次取到黑球,B 1事件表示“第一次取到黑球”,B 2事件表示“第一次取到白球”, (1) 第二次取到黑球的概率:)()()()()(2211B P B A P B P B A P A P +=3.01079310392=⨯+⨯=(2) 若已知第二次取到的是黑球,试求第一次也取到黑球的概率:923.010392)()()()(111=⨯==A P B P B A P A B P6、设二维随机变量 (X , Y ) 的联合概率密度为求: (1) 求 X , Y 的边缘概率密度 f X (x ), f Y (y ), 并判断 X 与 Y 是否相互独立(说明原因)? (2) 求 P { X + Y ≤ 1} 解:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=-==⎰⎰∞∞-其它,020),2(21d )2(d ),()(10x x y y x y y x f x f X ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-==⎰⎰∞∞-其它,010,2d )2(d ),()(20y y x y x x y x f y f Y因为 ),()()(y x f y f x f Y X =⋅,所以X 与Y 是相互独立的.(2) 247d )1)(2(21d )2(d }1{1021010=--=-=≤+⎰⎰⎰-x x x y y x x Y X P x 7、设二维随机变量 (X , Y ) 的联合概率密度为求: (1) 求 X , Y 的边缘概率密度 f X (x ), f Y (y ), 并判断 X 与 Y 是否相互独立(说明原因)? (2) 求 P { X + Y ≤ 1}解: (1) ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=-==⎰⎰∞∞-其它,020),2(21d )2(d ),()(10x x y y x y y x f x f X ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-==⎰⎰∞∞-其它,010,2d )2(d ),()(20y y x y x x y x f y f Y因为 ),()()(y x f y f x f Y X =⋅,所以X 与Y 是相互独立的.(2) 247d )1)(2(21d )2(d }1{1021010=--=-=≤+⎰⎰⎰-x x x y y x x Y X P x8、已知连续型随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它 ,0),0(,2)(2a x xx f π求(1)a ; (2)分布函数F (x);(3)P (-0.5 < X < 0.5 )。

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