第1章 流体运动基本方程
1.8 运动方程
【例题】如图，水在双喷嘴中流动，试求水对喷嘴作用的合力大小及方向。两个
喷嘴的射流速度都是12m/s，导管轴线以及两个喷嘴的轴线都在一个水平面
内， d1 0.15m d2 0.10m d3 0.0，75不m计摩擦 1。000kg / m3
解：由连续方程得 A1V1 A2V2 A3V3
26.2
0.12m3
/
s
V2
Q A2
0.12 0.1002
15.29m / s
4
在2、3面间应用伯努利方程
p2
15.29 2
26 .2 2
3
06
1018 9.81 2 9.81
2 9.81
1.8 运动方程
p2 260 kPa
Fx p2 A2 p3 A3 cos200 Fx Q(V3 cos200 V2 )
g
p1 37.3kPa
p1 A1 0.659 kN
第1章 流体运动基本方程
Fx p1 A1 0 Fx Q2V2x Q3V3x Q1V1x
1.8 运动方程
V2x 12 cos150 11.59m / s V3x 12 cos 300 10.39m / s V1x 8.33m / s
1 (
2 x
u ) y
1 [ c(x2 y2 ) 2 (x2 y2)2
c(x2 y2 ) ] 0 (x2 y2)2
表明除在坐标原点，x、y=0， 未确z 定之外，其余流动的
旋转角速度均为零。
★ 流体微团是否作旋转运动？
第1章 流体运动基本方程
1.6 流体本构方程
【例题】已知粘性流动的速度场为 V 5x 2 yzi 3xy 2 zj 8xyz 2k
V1
3.5 1.52
1.98m / s
4
V2
3.5 0.92
5.50m / s
4
（ p1
g
1
V12 2g
Z1）
Hw
（ p2
g
2
V22 2g
Z 2）
H
f
取 1 则
（ 500 10 3
1.98 2
0） 12 （
p2
5.52 4.5） 17
1000 9.81 2 9.81
1000 9.81 2 9.81
(260103 )(
4
0.1002 ) 0
Fx
1018 0.12 (26.2 cos200
15.29)
Fy 0 0 Fy 759.81 1018 0.12 (26.2sin 200 0)
Fx 901N Fy 1830 N
合力： F Fx2 Fy2 2040N
方向： tg1 Fy 63.80
流体动力粘性系数 0.01N s / m2 ，长度单位为m。
求：点（2,4,6）处的剪切应力 xy、 yz、 xz
解： u 5x2 yz 3xy 2 z 8xyz 2
xy
(
x
u ) y
(5x2 z
3y2z)
4.08 N
/ m2
yz
(
z
)
y
(3xy 2
8xz 2 )
4.8N
求流体对弯管的作用力。
第1章 流体运动基本方程
解：二维定常流动 d 0 dt
Fx
u(V ) cosdA
A
d dt
ud
Fy
(V
A
) cosdA
d dt
d
x方向
Fx p1A1 p2 A2 cos Fbx
1.8 运动方程
u(V ) cosdA u(V )dA u(V )dA V1(1V1)dA V2 cos (2V2 )dA
1.8 运动方程
(V ) cosdA (V ) cos0dA (V )dA
A
A2
A2
V2 sin (V2 )dA V22 sinA2 QV2 sin
A2
即
Fby
p2 A2
s in
QV2
s in
p2 A2
s in
QV1
A1 A2
s in
流体对弯管的作用力
Rbx Fbx
Rby Fby
Fx
100015.34 (5.11 2.56)
Fx 4910 N
第1章 流体运动基本方程
【例题：射流对叶片的作用力】
如图，初始直径为50mm的一股水射流冲击在导流片上。给
定 300 V1， 由30于m /有s 摩擦损失，假设
。 V2 28m / s
流动发生在水平面内。试求作用在此导流片上的合力。
【例题】证明：
1 V
DV Dt
u x y z
S xx S yy S zz
证明过程：令V为单位流体质量的体积，密度为 则
V 1
对时间求导
D (V ) DV V D 0
Dt
Dt Dt
连续性方程
1 DV 1 D 0 V Dt Dt
D （u ）
Dt
x y z
比较两式
Pa
0
第1章 流体运动基本方程
1.8 运动方程
【例题】 水以3.5m3/s流量经过管道泵入处理厂。直径为1.5m的吸水段长度
为900m，直径为0.9m的排水段长度为450m。泵加给水的能量为12m，总的压
头损失是17m。假设管道进口处水的压强为500kPa，出口比进口高4.5m，问出
口水压多大？
解： 代入
1018kg / m3 。估计弯管内液体质量为75kg。 75kg
解：在1、3面间应用伯努利方程
300 10 3 11 0 0 6 V32
1018 9.81
2 9.81
求出射流速度
V3 26.2m / s
作业：习题 1.5
第1章 流体运动基本方程
（1）对于弯管
Q
A3V3
4
0.0752
的剪切运动，试确定此流场中流体微团是否具有旋
转运动和变形运动。
解：按所给速度场， u c ，则
y
z
1 (
2 x
u ) y
1 2
c
（负值代表顺时针）
S xy
1 (u 2 y
) x
1c 2
★两平板间的简单剪切运动是由纯角变形和旋转两种运动形式叠加而成 的，流场中的流线虽是直线，但流体微团的局部运动存在旋转。
tg1 Fy tg1 27.44 86.50
Fx
11.27
作业：习题 1.12
第1章 流体运动基本方程
1.8 运动方程
【例题】 有一艘潜艇在水下20m航行，航速为6m/s，海水密度为 1024kg/m3，试求潜艇头部的总压。
解：
p0
gh
u2 2
1024
(9.81 20
62 )
2
219341
★如果有十字形物体放在这种流场中将会发生什么运动？
第1章 流体运动基本方程
【例题】自由涡 u0 u cy
1.5 流体微团的运动与形变
已知流场的速度分布为
u cy , cx
x2 y2
x2 y2
速度与半径成反比，其流线为一组同心圆，这种类型 的运动称为自由涡，试求其旋转角速度。
解： z
第1章 流体运动基本方程
1.4 作用在流体上的力
【例题】证明理想流体中任意点处对任意方位的平面作用的压力值相等， 即压力只是坐标的函数。
证明：设理想流体，取微元四面体四个面上的作用力均垂直于各表面，即
px
yz 2
py
xz 2
各方向质量分量：
f
x
xyz 6
对y方向的 F ma 的运动投影方程
pz
xy 2
2
/m
zx
(
x
u ) z
(8 yz 2
5x2 y)
10.72N
/ m2
第1章 流体运动基本方程
1.6 流体本构方程
【例题】 设有流场的速度分布为
u y x2 y2
, x
x2 y2
试求粘性切应力为零的位置。
解：
xy
(
x
u ) y
2
x2 y2 (x2 y2)2
可见除坐标原点外的 y x 处，其切应力均为零。
2V1 V2
得
V1 2.56m / s V2 5.11m / s Q A1V1 A2V2 15.34m3 / s
由动量方程
F1 F2 Fx Q(V2 V1 )
g
h1 2
A1
g
h2 2
A2
Fx
Q(V2
V1 )
2
1
1000 9.81
(2 3) 1000 9.81 2
(1 3) 2
Fx 0.242kN
Fy 0 0 Fy Q2V2y Q3V3y Q1V1y
V2y 12sin150 3.11m/ s V3y 12sin 300 6.00m/ s
V1y 0
Fy 0.027kN 负号表示反向
合力 F Fx2 Fy2 0.243kN
方向 tg1 Fy 5.900
Fx
第1章 流体运动基本方程
【例题】 如图中的水道在垂直于图示平面 中的宽度为3m，试作用在构件上的水平力。 假设为理想流体流动。
1.8 运动方程
解：1、2面的能量方程
z1
V12 2g
z2
V22 2g
连续方程
2(3)V1 1(3)V2
2 V12 1 V22 2 9.81 2 9.81
1.8 运动方程
解：沿x方向动量方程 Fx Q(V2x V1x )