高中数学重要公式、定理与结论第一章 集合与常用逻辑用语1.集合 对A x ∈∀，都有B x ∈，则B A ⊆.2.①如果“若p ，则q ”，那么p 是q 成立的充分条件； ②如果“若q ，则p ”，那么p 是q 成立的必要条件.3.①命题的否命题：“若p ，则q ” 的否命题为“若p ⌝，则q ⌝” ②命题的否定：“若p ，则q ” 的否定为“若p ，则q ⌝” ③命题的否定：∀的否定为∃，∃的否定为∀，≤的否定为>第二章 函数1.增函数 对⊆∈∀D x x 21,定义域I，当21x x <时，都有⇔<)()(21x f x f )(x f 为增函数0)(0)()(1212>'⇔>--⇔x f x x x f x f2.奇偶性 ①设)(x f 定义域D 关于原点对称，若D x ∈∀，有⇔-=-)()(x f x f )(x f 为奇函数；又有⇔==-|)(|)()(x f x f x f )(x f 为偶函数②xxy -+=11lg，)1(log 2x x y a -+=，|2|212+--=x x y 均为奇函数③奇函数的图象关于原点对称；奇函数的偶次项系数为0④偶函数的图象关于y 轴对称；偶函数的奇次项系数为0⑤奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇⨯偶=奇3.对称性 ①点),(y x P 关于x 轴、y 轴、原点对称的点分别为),(y x Q -、),(y x R -、),(y x S --②点)3,2(A 关于1-=x y 的对称点是)1,4(B 点)3,2(A 关于1--=x y 的对称点是)3,4(--C③)(x f 关于a x =对称⇔)()(x a f x a f +=-⇔)()2(x f x a f =-（2014山东文科9题）)(x f 关于)0,(a A 对称⇔)()(x a f x a f +-=-⇔)()2(x f x a f -=-4.周期性 ①对)(x f ，若∃常数0≠T ，对∈∀x 定义域D ，都有)()(x f T x f =+⇔)(x f 的周期为T ②若)()1(x f x f -=+，则2=T 若)(1)2(x f x f =+，则4=T 证明： ③若)(1)3(x f x f -=+，则6=T 若)5()4(-=+x f x f ，则9=T证明：④函数的对称性与周期性的关系： 对+对=周 5.指、对数函数 ①当0>a，1≠a 时，N x N a a x log =⇔=.)0(>N②101log 0=⇔=a a ，a a a a =⇔=11log ，对数恒等式N aNa =log③若0>a，1≠a ，0>M ，0>N ，则N M N M a a a log log )(log +=⋅，N M NMa a alog log log -=， Mn M a n alog log =， M nM a nalog 1log =④对数换底公式 若0>a ，1≠a ，0>c ，1≠c ，0>b ，1≠b 则abb c c a log log log =；1log log log 1log =⋅⇔=a b ab b a b a⑤b mnb a na mlog log =，b b b aa a log log log 22==6.幂函数αx y =，1,21,3,2,1-=α. 7.函数与方程 ①方程0)(=x f 有实根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点②如果函数)(x f y =在区间],[b a 上图象是连续的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即),(b a c ∈∃，使得0)(=c f ，这个c 就是方程0)(=x f 的根.第三章 导数及其应用1.切点),(00y x P 、切线、曲线)(x f y =三句话： ①切点),(00y x P 在切线上；②切点),(00y x P 在曲线)(x f y =上；③导函数)(x f '在切点),(00y x P 横坐标0x 处的值=')(0x f 切线的斜率.2.x a y =的导函数为a a y x ln ='；x y a log =的导函数为e xy a log 1='. 第四章 三角函数一、任意角与弧度制 1.正、负、零角. 2.与角α终边相同的角 }360|{Z k k S ∈⋅+==，终 αββ3.轴线角}90|{Z k k S ∈⋅==，轴 αα },36090360|{1Z k k k S ∈⋅+<<⋅= αα4.象限角),36018036090|(2Z k k k S ∈⋅+<<⋅+= αα5弧度制 （1）把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度角π2360=（2）弧长与扇形面积公式R Rn l ⋅==||180απ，lR R n S 213602==π扇形 二、任意角的三角函数及正弦、余弦的诱导公式 1.设α是一个任意角，),(y x P 在α的终边上，0||22>+==y x PO r ，则αsin =r y ，αcos =r x ，αtan =xy，αcot =y x .2.三角函数线 MP =αsin ，OM =αcos ，AT =αtan .设2πα<<，证明：αααtan sin <<.证明：3.三角函数的符号 一、全为正；二、正弦正；三、正（余）切正；四、余弦正.4.同角关系式及正弦、余弦的诱导公式 奇变偶不变，符号看象限1829=⨯个公式1cos sin 22=+αα，αααtan cos sin =，1cot tan =αα，αα22tan 11cos +=三、正弦函数、余弦函数的图象和性质 1.x y sin =的关键五点：)0,0(，)1,2(π，)0,(π，)1,23(-π，)0,2(π.x y cos =的关键五点：)1,0(，)0,2(π，)1,(-π，)0,23(π，)1,2(π.2.主要性质（1）定义域均为R ，（2）值域均为]1,1[-，（3）最大、最小值为x y sin =当且仅当Z k k x ∈+=,22ππ时，1max =y ，x y sin =当且仅当Z k k x ∈+-=,22ππ时，1min -=y .x y cos =当且仅当Zk k x ∈=,2π时，1max =y ，x y cos =当且仅当Z k k x ∈+=,2ππ时，1min -=y .（4）对称性x y sin =的对称轴方程为Z k k x ∈+=,2ππ，对称中心为)0,(πk A )(Z k ∈.x y cos =的对称轴方程为Z k k x ∈=,π，对称中心为)0,2(ππ+k B )(Z k ∈.（5）周期性)sin(ϕω+=x A y 及)cos(ϕω+=x A y 的周期均为||2ωπ=T . （6）奇偶性⇒-=-x x sin )sin(x y sin =为奇函数，⇒=-x x cos )cos(x y cos =为偶函数. （7）单调性x y sin =的递增区间为)](22,22[Z k k k ∈++-ππππx y sin =的递减区间为)](223,22[Z k k k ∈++ππππx y cos =的增区间为)](2,2[Z k k k ∈+-πππx y cos =的减区间为)](2,2[Z k k k ∈+πππ四、函数)sin(ϕω+=x A y 的图象 1.平移与伸缩 将x y sin =变为)32sin(3π+=x y （两法）2.五点作图)62sin(π+=x y3.函数)sin(ϕω+=x A y )0,0(>>ωA 中，A 叫振幅，ωπ2=T 叫周期，Tf 1=叫频率，ϕω+x 叫相位，ϕ叫初相. 4.正切函数的图象和性质x y tan =的定义域为},2|{Z k k x x ∈+≠ππ，值域为R ，周期为π，⇒-=-x x tan )tan(x y tan =为奇函数，)tan(ϕω+=x A y 的周期为||ωπ=T ， x y tan =的递增区间为))(2,2(Z k k k ∈++-ππππ5.已知三角函数值求角 （1）若21sin =x ，且],0[π∈x ，则=x . 65,6ππ；（2）若23cos -=x，且],[ππ-∈x ，则=x . 65π±；（3）若1|tan |3=x ，且)2,2(ππ-∈x ，则=x . 6π±；六、两角和与差的正弦、余弦、正切；二倍角的正弦、余弦、正切；降幂公式. 1.βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-（新教材必修4，125108,P P 两次证明此公式）βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-2.)6sin(2sin 3cos πααα+=+ )4sin(2cos sin π-=-x x x3.)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+4.二倍角的正弦、余弦、正切 1.αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=，ααα2tan 1tan 22tan -=5.降幂公式22cos 1sin 2θθ-=，22cos 1cos2θθ+=2cos 12sin 2αα-=，2cos 12cos2αα+=，αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=第五章 平面向量设),(11y x =，),(22y x =，则①),(2121y y x x ±±=±，2121y y x x +=⋅；②||212121z y x ++=，><=⋅,cos ||||，π>≤≤<,0，22||=；③222222212121212121||||,cos zy x z y x z z y y x x b a ++⋅++++=⋅>=<，2222||bb a a b a +±=±；④0)0(//1221=-⇔≠=⇔y x y x b b a ba λ；⑤002121=+⇔=⋅⇔⊥y y x xb a b a ；⑥在ABC ∆中，BA BC BC AB AC -=+=；在四边形ABCD 中，⇔=平行四边形ABCD ，⇔-=+||||矩形ABCD ；⑦在上的投影等于><,cos ||；⑧（11陕西）叙述并证明余弦定理．A bc c b a cos 2222-+=，cab ac B 2cos 222-+=（两种叙述法、三种证明方法：向量加法、向量减法、建系坐标法） 证明：叙述并证明正弦定理．R CcB b A a 2sin sin sin ===，（两种叙述法、三种证明方法：向量加法、等面积法、三角形外接圆直径法） 证明：⑨仰角、俯角：视线与水平线所成角；方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角.第六章 数列数列（递推、规律、等差、等比、裂项、错位）常用公式与方法（设n S 为数列{}n a 的前n 项和）一.设n n na a a a S ++++=-121 ，1211--+++=n n a a a S ，则⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn（2015课标Ⅱ理科16题） 二.等差数列 1.定义：}{1n n n a d a a ⇔=-+是等差数列212+++=⇔n n n a a a .2.通项公式：d m n a d n a a m n )()1(1-+=-+=，mn a a d mn --=.3.求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=，要用倒序求和法证明第一公式.证明：4.性质：（1）若)2(t q p m n =+=+，则)2(t q p m n a a a a a =+=+.有n n a n S )12(12-=-.（2）n S ，n nS S -2，n n S S 23-也成等差数列.三.等比数列 1. 定义：}{1n n n a q a a ⇔=+是等比数列221++=⇔n n n a a a .2. 通项公式：2211--==n n nq a q a a .3.求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧--=≠--==q q a a q q q a q na S n n n 1)1(1)1()1(111，要用错位相减法证明第一公式.证明：4.性质：（1）若)2(t q p m n =+=+，则)(2t q p m n a a a a a =⋅=⋅.（2）n S ，n n S S -2，n n S S 23-)0(≠n S 也成等比数列.四.求和方法 1.用等差、等比数列的求和公式求和或分类求和；3.“差比”数列，错位相减求和. 2.裂项相消求和，若da a n n =-+1，则)11(11++-=n n n n a a d m a a m ；五. 通项公式的求法（“整式”篇），设数列{}n a 中，11=a . 关键：想方设法变成等差数列或等比数列.1.n n a a 21=+. 12-=n n a ；2.31+=+n n a a . 23-=n a n ；3.n a a n n 21+=+（差后等差，累加求和） 12+-=n n a n ；4.n n n a a 31+=+. （差后等比，累加求和） )13(21-=nn a ； 5.321+=+n n a a .（一次等比，观察法或待定系数法） 321-=+n n a ； 6.n n n a a 221+=+.（除以n 2后，变成等差数列） 12-⋅=n n n a ； 7.n n n a a 321+=+. （除以n 2后，变成差后等比，累加求和） n n n a 23-=；8.)12(331+⋅+=+n a a n n n .（除以n 3后，变成差后等差，累加求和） 123-⋅=n n n a .解答：结论：若n a 等差，则na nb 2=等比. 即指数等差，则幂等比；若n a 等比，则n na b 2log =等差. 即真数等比，则对数等差.第七章 不等式基本不等式：设b a ≤<0，则b b a b a ab ba a ≤+≤+≤≤+≤<22112022 第八章 立体几何点、直线、平面之间的位置关系1.公理、推论、定理①公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. ②公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.（以下推论新教材没有） 推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面 画图：③公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ④公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.⑤定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 2.直线、平面平行的判定及其性质①线面平行判定定理：α⊄a ，α⊂b ，且α////a b a ⇒. ②面面平行判定定理：β⊂a，β⊂b ，P b a = ，α//a ，αβα////⇒b .结论：（新教材没有）P b a = 确定平面α，Q d c = 确定平面β，c a //，βα////⇒db .③线面平行性质定理：α//a ，β⊂a ，b a b //⇒=αβ . ④面面平行性质定理：βα//，a =γα，b a b //⇒=γβ .画图：3.直线、平面垂直的判定及其性质①线面垂直判定定理：P ba = 确定平面α，a l⊥，α⊥⇒⊥l b l . 结论：三垂线定理及其逆定理（新教材没有）：α⊥PO 于O ，A PA =α ，α⊂a ，于是，若OA a ⊥，则PA a ⊥；若PA a ⊥，则OA a ⊥.画图：②面面垂直判定定理：α⊥l ，αββ⊥⇒⊂l . ③线面垂直性质定理：α⊥a ，b a b //⇒⊥α.④面面垂直性质定理：βα⊥于l ，β⊂a ，α⊥⇒⊥a l a .画图：二面角的平面角的常见求法1.定义法：直接按《书下B 》第50页找出并证明l OBl OA ⊥⊥,，可得AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.2.三垂线法：（必要条件：其中一个面有垂线）如图，α⊥1AA 于1A ，作BC D A ⊥1于D ，连结AD ，由三垂线定理，BC AD ⊥，则1ADA ∠就是二面角1A BC A --的平面角.或者，当α⊥1AA 于1A 时，作BC AD ⊥于D ，连结D A 1，由三垂线定理的逆定理，BC D A ⊥1，则1ADA ∠就是二面角1A BC A --的平面角.3.射影面积公式法：如图，设二面角1A BC A --的平面角1ADA ∠=ϑ，因为ABCBC A S S AD D A ∆∆==11cos ϑ，所以可用公式原射S S =ϑcos 求ϑ.4.空间一点垂面法：如图，设B PB A PA l 于，于βαβα⊥⊥=⋂,，则PAB l 平面⊥，设垂足为C ，连结BC AC ，，由线面垂直定义，l BC l AC ⊥⊥,，所以ACB ∠就是二面角βα--l 的平面角.5.异面直线距离公式法：详细请见《书下B 》55P 例2，ϑcos 22222mn n m d l ±++=，其中ϑ既是异面直线A E '与FA 所成角，又是二面角F A A E -'-的平面角.6.向量坐标公式法：详细请看：求角、求距离的向量坐标公式1.设异面直线b a ,所成角为ϑ，2,0(πϑ∈]，则k b a =⋅>=<||||,cos ，||arccos k =ϑ（若0>k ，则k arccos =ϑ；若0<k ，则)arccos(k -=ϑ）2.设二面角βα--l 的平面角为ϑ，],0[πϑ∈，设21,n n分PA βαlCB别为βα,的法向量，则k n n n n =⋅>=<||||,cos 212121（1） 若ϑ为锐角，则||arccos k =ϑ； （2） 若ϑ为钝角，则|)|arccos(k -=ϑ（0>k，)arccos(k -=ϑ；0<k ，k arccos =ϑ） 3.设斜线AB 与平面α所成角为β，)2,0(πβ∈，为α的法向量，)sin (||||,cos β==⋅>=<k n AB（1） 若0>k 时，则k arcsin =β；（2） 若0<k 时，则)arccos(2k --=πβ4.设点P到平面α的距离为d，设点A为α的任一点，为α的法向量，因为||||||||cos ||n n AP d =⋅=⋅=ϑ)0(>⋅但无论⋅的正、负，均有：||n d =第九章 直线与圆的方程1.直线的倾斜角与斜率 ①αtan =k，),0[πα∈ ②1212x x y y k --=③BAk -=2.两直线垂直与平行 ①12121-=⋅⇔⊥k k l l ；0212121=+⇔⊥B B A A l l②2121//k k l l =⇔且21b b ≠；0//122121=-⇔B A B A l l 且1221C B C B ≠3.直线方程 ①点斜式 )(00x x k y y -=- ②斜截式b kx y += ③截距式1=+bya x ④一般式0=++C By Ax （A 、B 不同时为0） ⑤斜率不存在式0x x =4.距离公式①21221221)()(||y y x x P P -+-=②2200||BA C By Ax d +++=③2221||BA C C d +-=5.圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x ，圆心)2,2(E D --，F E D r 42122-+=结论：设),(111y x P ，),(222y x P ，以21P P 为直径的圆的方程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x结论：将两圆方程相减所得的二元一次方程为两圆公共弦所在直线方程或两圆的公切线方程 第十章 圆锥曲线1.求曲线的方程方法 ①直译法 ②转移法或代人法 ③定义法2.弦长公式：||11||1||12122212y y ka k x x k L -+=∆+=-+= 证明：3.椭圆定义：设M 为动点，1F 、2F 为两定点，||2||||2121F F a MF MF >=+⇔点M 的轨迹为以1F 、2F 为焦点的椭圆.4.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的性质①范围（用放缩法推出）a x a ≤≤-，b y b ≤≤-；②对称性（用代换法推出）椭圆关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点（用解方程组法推出）)0,(a ±、),0(b ±，b a ,分别为长、短半轴长，222c b a +=；④离心率（比值法）)1,0(∈=ace5.椭圆第二定义：到定点)0,(c F 与到定直线l ：ca x 2=距离之比是)1,0(∈ac的点的轨迹为椭圆. 结论：焦半径公式设点),(00y x M 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的点，1F 、2F 为左、右焦点，则01||ex a MF +=，02||ex a MF -=. 近地点长为c a -，远地点长为c a +.证明：6.三个小性质 ①半通径长为ab 2； ②准线方程为c a x 2±=； ③焦准距长为cb 2证明：7.焦点三角形 设点P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上，1F 、2F 为两焦点，α=∠21PF F ，则三角形21PF F 的面积为2tan 2αb .在双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 中，其面积为2cot2αb .证明：8.点差法（2015课标Ⅱ理科20题（1））与弦中点斜率公式设点M 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的弦AB 的中点，则22ab k k OM AB -=⋅.又设AB 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 过原点的弦，点P 在此椭圆上，则22a b k k PB PA -=⋅.设点M 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的弦AB 的中点，则22ab k k OM AB =⋅.（2010课标理科12题） 证明：9.①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线为x ab y ±=；222b a c +=②等轴双曲线⇔b a =⇔222a y x =-⇔x y ±=⇔2=e③从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长. 10.抛物线定义：动点M 到定点F 的距离等于M 到定直线l （l F ∉）的距离⇔点M 的轨迹为以F为焦点、直线l 为准线的抛物线. 11.抛物线的焦半径、焦点弦 设直线AB 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 与其交于),(11y x A 、),(22y x B ，A 、B 到准线的距离分别为||AD 、||BC ，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则①4221p x x =，221p y y -=；②焦半径2||1px AF +=，2||2px BF +=； ③p BF AF 211=+； ⑥ 90=∠CFD ； ④焦点弦长为α221sin 2||pp x x AB =++=（α为AB 的倾斜角）；（2014课标Ⅱ文科10题） ⑤三角形ABO 的面积为αsin 22p （α为AB 的倾斜角）；（2014课标Ⅱ理科10题） ⑦90=∠ANB 证明：12.设直线AB 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 与其交于A 、B ，① 若AO 交其准线于点D ，则x BD //轴； ②若⊥BD 准线于点D ，则A 、O 、D 三点共线.证明：第十一章 概率与统计1.①若B A 为不可能事件（φ=B A ）⇒A 、B 互斥⇒)()()(B P A P B A P +=②若B A 为不可能事件，且B A 为必然事件⇒A 、B 对立⇒1)()(=+B P A P2.方差])()()[(1222212x x x x x x nsn -++-+-= 3.频率分布直方图公式：频率÷组距=纵坐标；频率=.频数÷样本容量第十二章 极坐标与参数方程1.极坐标与直角坐标的互化：θρθρsin ,cos ==y x ；)0(tan ,222≠=+=x xyy x θρ； 2.简单曲线的极坐标方程：圆r ==ρθρ,cos 2；射线)0(4≥=ρπθ，直线)(4R ∈=ρπθ3.参数方程①圆⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）；②椭圆⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ为参数）；③经过点),(000y x M 倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）；（2015课标Ⅱ理科23题）设),(y x M 为直线l 上的任一点，则t M =||0；设B A ,直线l 上的任两点，则||||21t t AB -=（2014江苏21题C ；）且||||||2100t t B M A M =⋅；（2015湖南16题（2）；）第十三章不等式选讲1.绝对值三角不等式 设R b a ∈,，则||||||b a b a +≤+，当且仅当0≥ab 时，等号成立.2.柯西不等式 ①设R d c b a ∈,,,，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =时，等号成立②设R b a ii ∈,，n i ,,2,1 =，则222112222122221)())((n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++ ，当且仅当=i b 或R k ∈∃，使得i i kb a =时，等号成立.（2015福建理科21题（3）） 初中圆的10个定理1.一推三（38P ）：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等. 结论：在同圆或等圆中，弦越长，则弦心距越短.2.二推二（垂径定理及推论40P ）：经过圆心且垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分这条弦所对的优、劣弧.（2015课标Ⅱ理科7题）结论：过圆内一点P 的最长弦是直径，最短弦是过点P 与直径垂直的那条弦. 画图：3.圆心角的度数定理：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.4.圆周角的度数定理（43P ）：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. 结论（41P ）：同弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角，反之也成立；结论：圆外角的度数等于它所对的弧的度数的差的一半；圆内角的度数等于它所对的弧的度数的和的一半. 画图：5.圆的切线的定义、判定、性质：①定义（49P ）：直线与圆只有一个公共点，则此直线叫做圆的切线. ②圆的切线的判定定理（51P ）：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ③圆的切线的性质定理（52P ）：圆的切线垂直于过切点的半径. 画图：6.圆的弦切角度数定理：圆的弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角的度数. 证明：7.圆的切线长定理（53P ）：从圆O 外一点P 引圆的两条切线PA 、PB （A 、B 为切点），则切线长相等，且PO 平分APB ∠. 证明：8.圆的切割线定理：PA 切圆O 于A ，PBC 与圆O 交于B 、C ，PDE 与圆O 交于D 、E ，则PE PD PC PB PA ⋅=⋅=2结论：圆的相交弦定理：圆O 的弦AB 、CD 相交P ，则PD PC PB PA ⋅=⋅.证明：9.四点共圆：在四边形ABCD 中，若对角互补，则A 、B 、C 、D 四点在同一圆上. 结论：在四边形ABCD 中，若外角等于内对角，则A 、B 、C 、D 四点在同一圆上. 结论：若A 、B 、C 、D 四点在同一圆上，则对角互补、外角等于内对角.画图：10.两圆位置关系 设圆1O 、圆2O 的半径分别为R 、r ，圆心距d O O =21，①两圆外离⇔r R d +>； ②两圆外切⇔r R d +=；③两圆相交⇔r R d r R +<<-；结论：两圆相交连心线21O O 垂直平分公共弦. ④两圆内切⇔r R d -=；结论：两圆相切连心线21O O 过切点；⑤两圆内含（同心圆）⇔r R d -<≤0.画图：11.①初中射影定理：在三角形ABC 中， 90=∠C ，CD 是高，则BD AD CD ⋅=2，且AB AD AC ⋅=2，AB BD BC ⋅=2.据此可证明勾股定理.②结论：直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半.结论：在一个三角形中，若一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形. 画图：③三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得两条线段的比等于角的两边的比 （2011全国大纲15题；2015课标Ⅱ文、理科17题；2015重庆理科13题；） 证明：④在平行四边形ABCD 中，)(22222BC AB BD AC +=+.(2015四川理科19题考此结论证明方法)证明：12.三角形的四心：①三角形ABC 的三条中线AD 、BE 、CF 的交点G 叫做三角形ABC 的重心.若G 是三角形ABC 的重心，则GD AG 2=，BE BG 32=，GF CF 3=.②三角形ABC 的三条内角平分线的交点I 叫做三角形ABC 的内心. 内心I 是三角形ABC 的内切圆的圆心，内心I 到三边的距离相等.③三角形ABC 的三条边的中垂线的交点O 叫做三角形ABC 的外心. 外心O 是三角形ABC 的外接圆的圆心，外心O 到三顶点的距离相等.直角三角形的外心O 是其斜边的中点. （2015课标Ⅱ文科7题） ④三角形ABC 的三条高线的交点H 叫做三角形ABC 的垂心.直角三角形的垂心是其直角顶点.13.设O 是三角形ABC 平面内任一点，则0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OCA OBC .画图：初步认识课标（2010年起）卷Ⅱ宜宾三中 欧建兵1.从2010年起，请（文理科）考生在第22、23、24三题中任选一做答，若多做，则按所做的第一题计分. 22题（选修4-1）：几何证明选讲；23题（选修4-4）：坐标系与参数方程；24（选修4-1）：不等式选讲2.从2010年起，考数列大题，就不考三角函数大题，而考两道三角函数小题；反之，考三角函数大题，就不考数列大题，而考两道数列小题；2010年：17题考数列大题，考两道三角函数小题；（文、理科考法相同，但题不同） 2011年：17题考数列大题，考两道三角函数小题；（文、理科考法相同，但题不同） 2012年：17题考三角函数大题，考两道数列小题；（文、理科考法相同，但题不同） 2013年：课标卷Ⅰ理科17题考三角函数大题，考两道数列小题；课标卷Ⅰ文科17题考数列大题，考两道三角函数小题； 课标卷Ⅱ理科17题考三角函数大题，考两道数列小题； 课标卷Ⅱ文科17题考数列大题，考两道三角函数小题；2014年：课标卷Ⅰ 17题考数列大题，考两道三角函数小题；（文、理科考法相同，但题不同） 课标卷Ⅱ理科17题考数列大题，考两道三角函数小题；课标卷Ⅱ文科17题考三角函数大题，考两道数列小题；2015年：课标卷Ⅰ理科17题考数列大题，考两道三角函数小题； 课标卷Ⅰ文科17题考三角函数大题，考两道数列小题； 课标卷Ⅱ理科17题考三角函数大题，考两道数列小题；课标卷Ⅱ文科17题考三角函数大题，考两道数列小题；3.既要直接考常见结论或公式，例如①设点M 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的弦AB 的中点，则22ab k k OM AB =⋅.（2010课标理科12题） 设直线AB 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 与其交于),(11y x A 、),(22y x B②焦点弦长为α221sin 2||pp x x AB =++=（α为AB 的倾斜角）；（2014课标Ⅱ文科10题） ③三角形ABO 的面积为αsin 22p （α为AB 的倾斜角）；（2014课标Ⅱ理科10题） 又要考常见结论或公式的证明方法,例如点差法（2015课标Ⅱ理科20题（1））与弦中点斜率公式设点M 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的弦AB 的中点，则22ab k k OM AB -=⋅.4.加强了对平面几何的考查 例如 ①两次考三角形ABC 的外心：（2015课标Ⅱ文科7题）；（2015课标Ⅱ理科7题）； ②三次考三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得两条线段的比等于角的两边的比 （2011全国大纲15题；2015课标Ⅱ文、理科17题；2015重庆理科13题；） ③在平行四边形ABCD 中，)(22222BC AB BD AC +=+.(2015四川理科19题考此结论证明方法)5.选择题、填空题的最后一题均没有四川卷那么难、那么怪，有利于高中数学教学①（2014课标Ⅱ理科12题）设mxx f πsin3)(=有极值点0x 满足2202)]([m x f x <+，则∈mA.),6()6,(+∞--∞B. ),4()4,(+∞--∞C. ),2()2,(+∞--∞D. ),1()1,(+∞--∞②（2014课标Ⅱ理科16题）设点)1,(0x M ，若在圆O ：122=+y x 上存在点N ,使得 45=∠OMN ，则0x 的取值范围是 . （也是2014课标Ⅱ文科12题）③（2014课标Ⅱ文科16题）数列}{n a 满足nn a a -=+111，28=a ，则=1a .④（2015课标Ⅱ理科12题）设函数)(x f '是奇函数))((R x x f ∈的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是 A.)1,0()1,( --∞B.),1()0,1(+∞-C. )0,1()1,(---∞D. ),1()1,0(+∞ ⑤（2015课标Ⅱ理科16题）设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++=n n n S S a ，则=n S⑥（2015课标Ⅱ文科12题）设函数211|)|1ln()(x x x f +-+=，则使得)12()(->x f x f 成立的x 的取值范围是 A.)1,31( B.),1()31,(+∞-∞ C.)31,31(- D. ),31()31,(+∞--∞⑦（2015课标Ⅱ文科16题）已知曲线x x y ln +=在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相切，则=a. （答：C ；]1,1[-；21；A ；n1-；A ；8；）6.在传统考法（由三视图考表面积、体积的计算；证明直线与平面平行与重直；求三种角或距离；）的基础上增加了一点新意，就是在证明直线与平面平行与重直之前（之后）增加作图（2015课标Ⅱ文科19题（1））；增加标点（2015四川理科1、文科18题（1））；增加识图（2015湖北理科19题、文科20题（1））7.理科对二项式定理的考查比四川难 ①（2015课标Ⅰ理科10题）52)(y x x++的展开式中，25y x 的系数为（ ）A.10 B.20 C.30 D.60②（2015课标Ⅱ理科15题）4)1)((x x a ++的展开式中，x 的奇数次幂项的系数之和为32，则=a .（答：C ；3；）8.对线性规划小题的考查考得简单，对向量小题的考查也考得简单；9.2010理10.设三棱柱侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为BA.2a π B.237a π C.2311a π D. 25a π 2010文7.设长方体的长、宽、高分别为a 2、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为BA. 23a πB.26a πC. 212a πD. 224a π2010文15.一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 .①②③⑤； ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱 2010理科18.四棱锥ABCD P -的底面为等腰梯形，CD AB //，BD AC ⊥，垂足为H ，PH 为四棱锥的高，E 为AD 中点.（1）证明：BC PE ⊥；（2）若60=∠=∠ADB APB ，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值.(42)2010文科18.四棱锥ABCD P -的底面为等腰梯形，CD AB //，BD AC ⊥，垂足为H ，PH 为四棱锥的高.（1）证明：平面PAC⊥平面PBD ；（2）若6=AB ，60=∠=∠ADB APB ，求四棱锥ABCD P -的体积.（3323+） 2011理科6（文8）.已知正视图、俯视图，选择侧视图 2011理科15.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6=AB ，32=BC ，则棱锥ABCD O -的体积为 .（38）2011文16.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的163，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .（31）2011理科18.四棱锥ABCD P -的底面为平行四边形， 60=∠DAB ，AD AB 2=，PD ⊥底面ABCD .（1）证明：BD PA ⊥；（2）若AD PD =，求二面角C PB A --的余弦值.（772-）2011文科18.四棱锥ABCD P -的底面为平行四边形， 60=∠DAB ，AD AB 2=，PD ⊥底面ABCD .（1）证明：BD PA ⊥；（2）若1==AD PD ，求棱锥PBC D -的高.（23）2012理科7.（2016五三144页14题） 2012理科11.已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC为球O 的直径，且2=SC，则此棱锥的体积为（A ） A.62B.63 C.32 D.222012理科19.直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1.（1）证明：BC DC ⊥1；（2）求二面角C BD A --1的大小.（30）2012文科19.（2016五三172页10题）2013理科Ⅱ4.已知n m ,为异面直线，⊥m 平面α，⊥n平面β，直线βα⊄⊄⊥⊥l l n l m l ,,,，则（ D ） A.βα//且α//l B.βα⊥且β⊥lC.α与β相交，且交线垂直于lD. α与β相交，且交线平行于l 2013理科Ⅱ7.（2013文科9.即2016五三144页12题） 2013文科15.已知正四棱锥ABCD O -的体积为223，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的表面积为 .（π24） 2013理科Ⅱ18.直三棱柱111C B A ABC -中，D、E分别是AB、1BB 的中点，AB CB AC AA 221===.（1）证明：//1BC 平面CD A 1.（2）求二面角E C A D --1的正弦值.（36）2013文科Ⅱ（2016五三153页16题）2014理科Ⅱ6（2014文科Ⅱ6即2016五三143页5题） 2014理科Ⅱ11.直三棱柱111C B A ABC-中， 90=∠BCA ，M 、N 分别是11B A 、11C A 的中点，1CC CA BC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（C ） A.101 B.52C.1030 D.222014文科Ⅱ.正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥11DC B A -的体积为（C ） A.3 B.23C.1D.232014理科Ⅱ18.四棱锥ABCD P -的底面为矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设二面角C AE D --为60，1=AP ，3=AD ，求=-ACD E V ?（83）2014文科Ⅱ18.（2016五三158页7题）2015理科Ⅱ6.（2015文科Ⅱ6.即2016五三143页1题） 2015理科Ⅱ9.（2015文科Ⅱ10.即2016五三150页2题） 2015理科Ⅱ19.长方体1111D C B A ABCD-中，16=AB ，10=BC ，81=AA ，点F E ,分别在1111,C D B A 上，411==F D E A .过点F E ,的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值.（1554）2015文科Ⅱ19.即2016五三152页13题。