几何证明题
运用全等三角形的知识来证明边的关系和角的关系
重难点:几何题中辅助线的添加
1.已知:在⊿ABC中,∠A=900,AB=AC,D是AC的中点,AE⊥BD,AE延长线交BC于F,求证:∠ADB=∠FDC。
证明:
过点C作CG⊥CA交AF延长线于G
∴∠G+∠GAC=90°…………①
又∵AE⊥BD
∴∠BDA+∠GAC=90°…………②
综合①②,∠G=∠BDA
在△BDA与△AGC中,
∵∠G=∠BDA
∠BAD=∠ACG=90°
BA=CA
∴△BDA≌△AGC
∴DA=GC
∵D是AC中点,∴DA=CD
∴GC=CD
由∠1=45°,∠ACG=90°,故∠2=45°=∠1
在△GCF与△DCF中,
∵GC=CD
∠2=45°=∠1
CF=CF
∴△GCF≌△DCF
∴∠G=∠FDC,又∠G=∠BDA
∴∠ADB=∠FDC
2.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF 的延长线交DC于点E.
求证:AD=DE.
证明:(1)∵CF平分∠BCD,
∴∠BCF=∠DCF.
在△BFC和△DFC中,
∴△BFC≌△DFC.
∴BF=DF,∴∠FBD=∠FDB.
连接BD.
∵DF∥AB,
∴∠ABD=∠FDB.
∴∠ABD=∠FBD.
∵AD∥BC,
∴∠BDA=∠DBC.
∵BC=DC,
∴∠DBC=∠BDC.
∴∠BDA=∠BDC.
又BD是公共边,
∴△BAD≌△BED.
∴AD=DE.
1.已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC.求证:BG=FG;
证明:
∵∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,
∴∠ABC=∠AFE.
∵AC=AE,∠EAF=∠CAB,
∴△ABC≌△AFE
∴AB=AF.
连接AG,
∵AG=AG,AB=AF,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG.
∴BG=FG
2.已知:如图,AD∥BC,AE平分∠BAD,AE⊥BE;说明:AD+BC=AB.
解:如图,在AB上截取AF=AD,
∴AE平分∠BAD,
∴∠DAE=∠FAE,
∵AF=AD,AE=AE,
∴△DAE≌△FAE,
∴∠D=∠AFE,∠DEA=∠FEA,
∵AD∥BC,
∴∠DAB+∠CBA=180°,
∵AE⊥BE,
∴∠BAE+∠ABE=90°,
∴∠DAE+∠CBE=90°,
∴∠ABE=∠CBE,
同理,∠FEB=∠CEB,
∵BE=BE,
∴△BEF≌△BEC,
∴BF=BC,
∴AB=AF+FB=AD+BC.
1、已知:在⊿ABC中,∠A=900,AB=AC,在BC上任取一点P,作PQ∥AB交AC于Q,作PR
∥CA交BA于R,D是BC的中点,求证:⊿RDQ是等腰直角三角形。
C
B
2、已知:在⊿ABC中,∠A=900,AB=AC,D是AC的中点,AE⊥BD,AE延长线交BC于F,求
证:∠ADB=∠FDC。
3、已知:在⊿ABC中BD、CE是高,在BD、CE或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB,求证:
MA⊥NA。
B C
A B C D
E P 图 ⑴
1、已知:如图(1),在△ABC 中,BP 、CP 分别平分∠ABC 和∠ACB ,DE 过点P 交AB 于D ,交AC 于E ,且DE ∥BC .求证:DE -DB=EC .
2、在Rt △ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,O 为BC 的中点。
(1)写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的大小关系(不要求证明);
(2)如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动,在移动中保持AN =BM ,请判断△OMN 的形状,并证明你的结论。
A B C
O
M N
学习顾问签字:学科负责人签字:。