旋转体求体积
杨小洁
旋转体求 体积
概念
方法
应用
一、概念

旋转体是指一个平面图形绕该平面内的一条直线旋 转一周而成的立体，这条直线称为旋转体的旋转轴．如 圆柱体、圆锥体和球等都是旋转体. 这条直线称为旋转体的旋转轴.

二、方法

旋转一周而成(图1)，试计算它的体积．
பைடு நூலகம்
y f 直线 ( x)
及a, 轴围成的曲边梯形绕轴 x x b x
1
取横坐标 为积分变量,积分区间为 ，在 上任取小区间 ，相应薄片的体积近似于以 为 a, b a, b x, x dx 底半径， 为高的扁圆柱体的体积，即体积微元为 f x dx
x


于是旋转体的体积为
dV [ f ( x)]2 dx
b V [ f ( x)]2 dx a
x
dv sin xdx
2
1 cos2x v sin xdx dx 0 0 2 2

2



2

同理,由连续曲线 与直线 x y，及 轴围 成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体的体积为(图2)
y c, y d
y
d
V [ ( y )]2 dy c
2
三、应用
求 y sin ，x x 以及 轴旋转 x 0 轴所围成的图形绕 所成立体的体积.
解：由微元法可知： 则