d d33 xtd d22 yt3d d22 xt0
(3)
(3 ) ( 1 ) 式 得 ： d d 3 tx 3 4 d d 2 tx 2 5 d d x t 0 (4 )
r 3 4 r 2 5 r 0 ,r 1 0 ,r 2 ,3 2 i . (4 ) 的通 x (t) C 解 1 e 2 t(C 为 2 cto C ： 3 s sti)n
(1)
.
其中 y1,y2,,yn 为n个未知函 aij(x数 ), ， i,j1,2,,n以及 fi(x),i1,2,,n都是某区 间I上的已知连续函数。
若fi(x)0,i1,2, ,n，则方程组为
.
dy1 dx
a11(
x)
y1
a12(
x)
y2
a1n(
x)
yn
dy2 dx
a21( x) y1
.
y1 y2 y2 y3
y
n
1
yn
F ( x , y1 , y2 , , yn , yn ) 0
.
一阶线性微分方程组：
ddyx1 a11(x)y1
a12(x)y2
a1n(x)yn
f1(x)
ddyx2 a21(x)y1 a22(x)y2 a2n(x)yn f2(x)
ddyxn an1(x)y1 an2(x)y2 ann(x)yn fn(x)
若A是对角阵 , 即xi aiixi，x icea iit,i 1 ,2 , n .
若 A 是上三角阵，x 1 a 1 x 1 1 a 1 x 2 2 a 1 n x n
总可以写出解.
x 2 a 2 2 x 2 a 2 n x n
x n
a n x n n
.
对一般矩阵逆 ，线 若性 存 T,变 X 在 T 换 可 Y ,则 X TY, TYAT YY (T1A)T Y T1AT为约当标准. 型eAX 是X AX 的.解 eAX IA X 1(A)2 X 级.数解
§9 常系数线性微分方程组
微分方程组 常系数微分方程组的解法
.
一. 微分方程组
微分方程组 由几个微分方程联立而成的方程组 称为微分方程组．
注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几 个具有同一自变量的函数．
.
一般n阶方程可以化为一程阶组方 .
F (x ,y ,y ,y , ,y (n )) 0 记yy1, 再引进 n1个新的未知 , 函数 y 2 y 1 ,y 3 y 1 , ,y n y 1 ( n 1 ) 于是高阶方为 程含 就 n个 有 可未 以知 化函数 阶方程 : 组
1dy 2 dt
5 2
ydd2t2y5y
0
.
r2 5 0 , r 1 ,25 i y ( t) C 1 co 5 t C s 2 si5 tn x (t) 1 2 [5 C 1 si5 n t5 C 1 co 5 t]s
1 2C 1co5ts1 2C 2sin 5t 1 2 ( C 1 5 C 2 ) co 5 t 1 2 s ( C 2 5 C 1 ) si5 tn
.
dd22yt 2ddyty2cots
r2 2 r 10 , r1 ,2பைடு நூலகம்1 y (t) y * C 1 e t C 2 tte , y*Acot sBsitn
代入方 : 程得
2Asitn2Bcot s2cotsy*sint
y (t) e t(C 1 C 2 t) stin
x(t )
1(dy 2 dt
.
代入(2)式得： y(t)dx3xt
dt 3 C 1 t e 2 t [ C 1 ( C 2 ) c t o ( C 2 C s 3 ) st ] in
a22( x) y2
a2n(x)yn
ddyxn an1(x)y1 an2(x)y2 ann(x)yn
称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组。
线性微分方程组解的存在唯一性定理
若aij(x), fi(x),i, j 1,2,,n都在区间 I上连续， 则对于任意给定的条 初件 始：
y1(x0) y10, y2(x0) y20,, yn(x0) yn0, 方程组(1)在区间I 上有一个解 y1 y1(x),y2 y2(x),, yn yn(x) 满足初始条件，且一 解。 唯
.
步骤:
１．从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数， 得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分 方程．
２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知函数.
３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来，不必经 过积分就可求出其余的未知函数．
.
一般常系数一阶线性齐次微分方程组，可用 矩阵形式写出。
X A ， X X { x 1 ,x 2 , ,x n }
y)
1 2 (ct o stis ) n e t(C 1 C 2 2 tC 2 )
将 x ( 0 ) 0 ,y ( 0 ) 1 代: 入 C 1 1 ,C 2 解 1 . 得
.
例 3. 求解微分 方 dd22 xt程 dd22yt组 5ddxt0 ddxty3xt
解： 为了 y (t)可 ,消 (2 )两 对 去 t边 求 2 次 对 导，得
2
.
常系数一阶线性微分方程组一般形式：
dx dt
a xa y
11
12
f (t) 1
dy
a
xa
y f (t)
dt 21
22
2
.
例1. 求解微分方 dddxyt程 2xx组 3yy; dt
解： 从(2)中解出 x1(dyy), 2 dt
ddxt12(dd2t2yddyt) 1 2(d d22 ytd d)y t1 2(d d y ty)3y
.
dx3x2ycots dt
例2. 求解非齐次线性 xdd(0yt)方 20x,程 y(y0)组 1
解： 从(2)中解出
x1(dy
y),
2 dt
ddxt12(dd2t2yddyt)
1 2(d d22 ytd d)y t2 3(d d y ty)2yco t s
12dd22tyddyt12y cot s
x0 I
.
二.常系数微分方程组的解法
常系数线性微分方程组 微分方程组中的每一 个微分方程都是常系数线性微分方程叫做常 系数线性微分方程组．
dy1 dx
a11y1
a12y2
a1n yn
f1( x)
dy2
dx
a21y1 a22y2
a2n yn
f2 ( x)
ddyxn an1 y1 an2 y2 annyn fn(x)