⎧λe − λx ⎪ P( x ) = ⎨ ⎪0 ⎩
x>0 x≤0
希望通过直接对实际观测数据的分析得到随机变 量的分布函数存在困难。 但可以通过对观测数据的统计分析首先获得随机 变量的数值特征，主要是随机变量的均值和均 方差，再通过对随机变量分布规律的合理假设， 例如正态分布等，得到随机变量的分布函数。
对严格非平稳随机过程的分析和研究尚存在极大难度，不计 分析方法和对非平稳统计特征的描述方面，仅就给出随机 过程样本的集合，就存在极大的困难。因此在很多情况下， 在随机过程的统计特征随时间变化不大的情况下，认为过 程是平稳的，或者干脆就采用了平稳化假设进行处理，当 然也有非平稳过程的平稳化处理方法。例如：地震波的人 工合成。
2 x 2 = E[ x 2 − 2 x µ x + µ x ] 2 = E [ x 2 ] + E [ −2 x µ x ] + E [ µ x ] 2 = E[ x 2 ] − 2 µ x E[ x ] + µ x 2 = Rx (t ,0) − µ x (t )
可见，当获得了随机过程的均值和相关函数后，随机过 程的另外一个重要统计特征—方差也同时获得。
9.2 随机变量
几种分布函数 ①正态分布（高斯正态分布）
[− ( 1 P( x ) = e 2 σ 2π 1 x−µ
σ
)2 ]
式中，µ为均值；σ为均方差（标准差）。 ②对数正态分布
1 ln x − µ 2 [− ( ) ] ⎧ 1 2 σ e , x≥0 ⎪ ⎪ σx 2π P( x ) = ⎨ ⎪ ⎪ 0 , x<0 ⎩
判断一个随机过程是平稳还是非平稳的根据是随机过 程的统计特征。更严格的还包括判断随机过程的概 率密度函数是否随时间变化。如果统计特征，包括 均值和相关函数等不随时间变化，则随机过程为平 稳随机过程。如果统计特征对不同的时刻有不同的 值，则称随机过程为非平稳随机过程。
9.4 随机过程的平稳性和遍历性
9.2 随机变量 随机变量(Random Variable) ：如果一个量不能预 先确定，但其取值满足一定分布，则称这个量 为随机变量。 随机的意思是不确定，而不是指复杂的，随机一 般是复杂的，但复杂的不一定是随机的。 简单的事件也可能是随机的，例如掷硬币。 复杂的事件也可能是确定的，例如n个确定频率谐 波的叠加。
飞机机翼振动观测得到的随机过程的样本曲线
9.3 随机过程
描述随机过程统计特征的最主要的两个量为： ①均值
µ x (t ) = E[ x(t )]
②相关函数
Rx (t,τ ) = E[ x(t ) x(t + τ )]
或
Rx (t1 , t2 ) = E [ x (t1 ) x (t2 )]
有时也将相关函数记为Rxx(τ)。
9.3 随机过程
随机过程：作为时间函数的随机变量x(t)。 随机过程的例子：
①汽车在不平的路面上行驶，车辆竖向振动时程； ②作用在高层建筑上的风压时程； ③大地的脉动，是由随机振源引起的大地微振动； ④未来某一工程场地的地震地面运动。 严格定义：设E是随机试验，S={e}是它的样本空间，如果对 于每一个e∈S，总可以依据某种规则确定一时间t的函数
严格地讲，实际问题中绝大多数随机过程都是非平稳的。例 如对于公认的平稳性很强的大地脉动，其白天和晚上由于 振源的变化而使总的振幅值发生系统的不同，白天的振幅 值大于晚上的，则白天和晚上地脉动的方差是不同的（地 脉动的均值为零，方差代表地脉动的强度—幅值的大小）。 但如果观测的时间是有限长，例如2个小时、4个小时，则 可以认为地脉动是平稳的。
结构动力学
清华大学土木工程系 刘晶波 2005年秋
结构动力学
第9章 结构随机振动
第9章 结构随机振动
前面各章所讲述的内容都属于确定性分析，结构本身是确定 的, 外荷载也是确定的。确定性问题的研究和分析方法是 结构动力学的基础,掌握了这些基础知识,可以解决结构工 程中面对的广泛的结构动力反应问题。但在结构动力学问 题中还存在另一类问题：不确定性问题,即结构随机振动。 随机振动是从另一个角度看待工程的振动问题的，它认为工 程的振动过程没有确定的变化形式，也没有必然的变化规 律，因而不能用时间的确定函数来加以描述。随机振动虽 然不能用确定性函数表达，却能用统计特性来描述。随机 振动将研究荷载和反应之间的统计特性关系。 不确定问题分析涉及到一些新的概念和用到新的分析方法， 下面仅就结构动力分析的不确定问题，即随机振动过程的 有关内容做一简单的介绍。
式中，µ和σ分别是lnx的均值和均方差。
9.2 随机变量x ) = ⎨ ⎪0 ⎩ a< x<b 其它
④指数分布
⎧λe − λx ⎪ P( x ) = ⎨ ⎪0 ⎩ x>0 x≤0
式中，λ既为x的均值也是其均方差。 以上是几种常见的分布函数，其中正态分布最为常用， 而对数正态分布一般用来描述那些随机变量为非负值 的情况。
1 N µ x = E[ x ] = ∑ xi N i =1
②n阶原点矩：
1 N n E[ x n ] = ∑ xi , n = 1, 2, L N i =1
③方差：
1 N 1 ⎛ N 2 2 2⎞ σ = E[( x − µ x ) ] = ∑ ( xi − µ x ) = N − 1 ⎜ ∑ xi − N µ x ⎟ N − 1 i =1 ⎝ i =1 ⎠
X(e,t), t∈T
与之对应(T是时间t的变化范围)，于是，对于所有的e∈S来说 就得到一族时间t的函数。此族时间t的函数称为随机过程。 而族中每一个函数称为这个随机过程的样本函数。
9.3 随机过程
随机过程的每一个实现都是一个时间函数xi(t)，t∈T（参 数集），称为随机过程的一个样本或样本曲线，所有 不同的试验结果构成一族样本函数，也构成了随机过 程的样本空间。
9.4 随机过程的平稳性和遍历性
1、平稳随机过程
若随机过程的统计特性不随时间变化影响，则称此随机过程为平 稳随机过程。 平稳随机过程又分为强平稳随机过程和弱平稳随机过程。 (1) 强平稳随机过程 第1种强平稳随机过程的定义：对任意的n (=1, 2, …)，t1，t2，…， tn∈T和任意的h，当t1+h，t2+h，…，tn+h∈T时， n维随机变量 (x(t1)，x(t2)，…，x(tn))和(x(t1+h)，x(t2+h)，…，x(tn+h))，有相 同的分布函数，则称随机过程具有强平稳性。其中T为平稳过程 的参数集。
−∞
2 2 σ x = E[( x − µ x ) 2 ] = ∫ ( x − µ x ) 2 P( x )dx = E[ x 2 ] − µ x
—也称为2阶中心矩，表示x的离散程度。而σx为均方差或标准差。
9.2 随机变量
随机变量的主要统计特征： 若已获得随机变量x的N个样本(观测值)：x1, x2, …, xN，则： ①均值：
9.2 随机变量
[− ( 1 P( x ) = e 2 σ 2π 1 x−µ
σ
)2 ]
1 ln x − µ 2 [− ( ) ] ⎧ 1 e 2 σ , x≥0 ⎪ ⎪ σx 2π P( x ) = ⎨ ⎪ ⎪ 0 , x<0 ⎩
⎧ 1 ⎪ P( x ) = ⎨ b − a ⎪0 ⎩
a< x<b 其它
9.3 随机过程
当τ＝0时
µ x (t ) = E[ x (t )] Rx (t,τ ) = E[ x(t ) x(t + τ )]
2
Rx (t ,0) = E [ x (t )]
而方差:
1 N µ x = E[ x ] = ∑ xi N i =1
2
σ (t ) = E[( x − µ x ) ]
第2种强平稳随机过程的定义：随机过程的一阶矩（均值），二阶 矩（相关函数）和高阶矩均与时间t无关（而仅与时间差有关）， 则为强平稳随机过程。
9.4 随机过程的平稳性和遍历性
1、平稳随机过程 (2) 弱平稳随机过程
弱平稳随机过程的定义：过程的均值µx=E[x(t)]=常 数，自相关函数Rx(τ)=E[x(t)x(t+τ)]只与τ有关，则 过程为弱平稳随机过程。 由此可见，弱平稳随机过程仅保证过程的一阶矩 和二阶矩与时间无关，而强平稳过程要求更高 阶矩也与时间无关。因此，弱平稳过程不一定 是强平稳过程。
9.1 概述
对于线弹性不确定性问题的研究，从理论上已经解决， 目前存在的一个主要问题是如何提高不确定性分析的 计算效率和保持分析精度，因为不确定问题的分析要 比确定性问题花费更多的计算时间。 对于非线性问题，还存在一系列难题有待研究和解决， 对于非线性的不确定性问题，可靠的分析方法是蒙特 卡罗法(Monte Carlo Method)，但这一方法要花费大量 的计算时间和采用大量的样本才能得到可信的结果。 当我们认为与荷载(例如，地震动)的不确定性相比，结构 的不确定性要小得多，则可以采用结构为确定性的， 而载荷是一个随机过程，来进行结构的动力反应问题 分析，这是(a)类不确定问题。
9.3 随机过程
当得到随机过程的N个样本后，其均值和相关函数的计算 公式可具体写为：
µ x (t ) = E[ x(t )]
1 N = ∑ xi (t ) N i =1 Rx (t ,τ ) = E[ x(t ) x(t + τ )] 1 N = ∑ xi (t ) xi (t + τ ) N − 1 i =1
9.1 概述
根据体系和随机过程的性质，随机振动可以被分为不同 类型的问题，如下图所示。
线性非平稳随机反应 平稳过程 输入 非平稳过程 线性体系 体系 非线性体系 线性平稳随机反应 输出 非线性非平稳随机反应 非线性平稳随机反应
随机振动问题分类 其中线性体系平稳随机振动问题研究得最为成熟，在工 程中也应用得最为广泛，是经典理论。本章将主要介 绍结构线性平稳随机振动的理论和方法。