2013年华约自主招生数学试题1.设},10|{Z x x x A ∈≥=,A B ⊆,且B 中元素满足:任意一个元素各数位的数字互不相同;任意一个元素的任意两个数字之和不等于9. (1)求B 中的两位数和三位数的个数; (2)是否存在五位数,六位数?(3)将B 中的元素从小到大排列,求第1081个元素.2.已知31sin sin =+y x ,51cos cos =-y x ,求)cos(y x +,)sin(y x -.3.点A 在kx y =上,点B 在kx y -=上,其中0>k ,12+=k OB OA ,且A ,B 在y轴同侧.(1)求AB 中点M 的轨迹C 的方程;(2)曲线C 与抛物线)0(22>=p py x 相切,求证:切点分别在两定直线上,并求切线方程.4.7个红球,8个黑球,任取4个. (1)求恰有1个红球的概率;(2)记取黑球个数为x ,求其分布列和期望; (3)取出4球同色,求全为黑球的概率.5.已知21++=n n n ca a a , ,3,2,1=n ,0>1a ,0>c .(1)证明对任意的0>M ,存在正整数N ,使得对于N n >,M a n > (2)设1+1=n n ca b ,记n s 为n b 前项和,证明n s 有界,且0>d 时,存在正整数k ,kn >时d ca s n <1<01-.6.设z y x ,,是两两不等且大于1的正整数,求所有使得xyz 整除)1)(1z (1)(---zx y xy 的z y x ,,.7.设1e )1(=)(--x x x f . (1)证明当0>x 时,0<)(x f ; (2)令1e =1+-nn x x n ex ,1=1x ,证明n x 递减且n n x 21>.2013年华约自主招生数学试题解析1.设},10|{Z x x x A ∈≥=,A B ⊆,且B 中元素满足:任意一个元素各数位的数字互不相同;任意一个元素的任意两个数字之和不等于9. (1)求B 中的两位数和三位数的个数; (2)是否存在五位数,六位数?(3)将B 中的元素从小到大排列,求第1081个元素.解析(1)所有的两位数共90个,其中数字相同的有9个,两数字之和为9的有9个, 所以B 中的两位数有90―9―9=72个;所有的各数位的数字互不相同三位数共9×9×8=648个,其中含有数字0和9的有4×8=32个,含有数字1和8,2和7,3和6,4和5的各有4×8+2×7=46个, 所以B 中的三位数有648―32―46×4=432个;另解(1)将10个数字分为5组:(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),每组中的两数不能同时出现在一个元素中.对于两位数,若最高位为9,则共有2×4=8个,若最高位不为9,则共有2×4×4×2=64个,所以B 中的两位数有72个; 对于三位数,若最高位为9,则共有24A ×2×2=48个,若最高位不为9,则共有14A ×2×24A ×2×2=384个,所以B 中的三位数有48+384=432个;(2)对于五位数,若最高位为9,则共有44A ×2×2×2×2=384个, 若最高位不为9,则共有14A ×2×44A ×2×2×2×2=3072个,所以B 中的五位数有3072+384=3456个; 显然B 中不存在六位数.(3)B 中的两位数和三位数共有72+432=504个, 在B 中的四位数中,千位上为1,2,3的各有192个, 而504+192×3=1080个,所以第1081个元素应为四位数中,千位上为4的最小数,即4012.2.已知31sin sin =+y x ,51cos cos =-y x ,求)cos(y x +,)sin(y x -. 解析 由31sin sin =+y x ,得91=sin sin 2+sin +sin 22y x y x ……①由51cos cos =-y x ,得251=2cosxcosy cos +cos 22-y x ……②两式相加,得22534=251+91=)+cos(22y x -, 所以 225208=225171=)+cos(-y x . 又由31sin sin =+y x ,得31=2cos 2+sin 2y x y x - ……③ 由51cos cos =-y x ,得51=2sin 2+sin 2y x y x --……④ 两式相除,得53=2tan --y x , 所以 1715=259+153×2=2tan +12tan2=)sin(2-----y x yx y x .3.点A 在kx y =上,点B 在kx y -=上,其中0>k ,12+=k OB OA ,且A ,B 在y 轴同侧.(1)求AB 中点M 的轨迹C 的方程;(2)曲线C 与抛物线)0(22>=p py x 相切,求证:切点分别在两定直线上,并求切线方程.解析 (1)设),(11kx x A ,),(22kx x B -,021>x x ,由 12+=k OB OA ,得222222221221)1+(=)+)(+(k x k x x k x ,所以1=21x x .设点M 的坐标为),(y x M ,则2+=21x x x ,2=2=2121x x k kx kx y --所以 1==)y (2122x x k x -,即点M 的轨迹C 的方程为 1=222ky x -. (2)因为曲线C 与抛物线)0(22>=p py x 相切,得 222=2k y y pk -, 由 0=4)2(=222k pk --∆,得pk 1=,此时p y 1=,两切点坐标为)1,2(p ,)1,2(p- ,即切点分别在两定直线2±=x 上.切线方程分别为0=12--py x 和0=1++2py x .4.7个红球,8个黑球,任取4个. (1)求恰有1个红球的概率;(2)记取黑球个数为x ,求其分布列和期望; (3)取出4球同色,求全为黑球的概率. 解析 (1)恰有1个红球的概率为4153817C C C 13×15×756×7=19556=;(2)黑球个数为4,3,2,1,0=x ,黑球数为0的概率为4150847C C C 13×15×735=1955=;黑球数为1的概率为4151837C C C 13×15×78×35=19540=; 黑球数为2的概率为4152827C C C 13×15×728×21=19584=;黑球数为3的概率为4153817C C C 13×15×756×7=19556=;黑球数为4的概率为4154807C C C 13×15×710×7=19510=;其分布列为x 的数学期望为0×1955+1×19540+2×19584+3×19556+4×19510=1532.(3)由(2)知4球同色的概率为195519510+19515=, 所以,取出4球同色,全为黑球的概率为 32=1951519510.5.已知21++=n n n ca a a , ,3,2,1=n ,0>1a ,0>c .(1)证明对任意的0>M ,存在正整数N ,使得对于N n >,M a n > (2)设1+1=n n ca b ,记n s 为n b 前项和,证明n s 有界,且0>d 时,存在正整数k ,kn >时d ca s n <1<01-. 解析 (1)由0>1a ,0>c ,知0=21+>-n n n ca a a ,于是11121121+++1=+=------))>()(-(---n n n n n n n n n n n n a a a a c a a ca a ca a a a122111+a a a a a a a a n n n n n n ->>->->----所以2112112211)1(n =))(1(n ++++=ca a a a a a a a a a a n n n n n --->------对任意的0>M ,要使M a n >,只需M ca n >)1(21-,1+>21ca Mn , 取]2+[=21ca MN ,于是N n >,M a n >. (2)1+1=n n ca b n n na ca a +=21+=n n a a 1+2=n n n a ca ca 1+1+=n n n n a ca a a -nca 1=1+1n ca -, 所以 n s 11=ca 1+1n ca -,1+11=1n n ca ca s ->0, 由(1)知211+nca a n >,所以2121+1<1a nc ca n ,即1+11=1n n ca ca s -2121<a nc , 所以n s 有界; 令d 2121=a nc ,得 n 2121=a dc , 取k ]1+1[=212a dc ,则k n >时d ca s n<1<01-.6.设z y x ,,是两两不等且大于1的正整数,求所有使得xyz 整除)1)(1z (1)(---zx y xy 的z y x ,,.解析 因为)1)(1z (1)(---zx y xy =z)+y +z(x z)(2xy xy -+zx y xy +z +-1, 而z)+y +z(x z)(2xy xy -能被xyz 整除, 于是只需zx y xy +z +-1能被xyz 整除即可.又z y x ,,是两两不等且大于1的正整数,不妨设z >>y x∴ ≤xyz zx y xy +z +-1xy 3<,即3<z ,∴2=z . 于是只需x y xy 2+2+-1能被xy 2整除,当然 12+2+≤2-x y xy xy ,即12+2-x y xy ≤,∴x x y xy 4<2+2<.于是4<y ,∴ 3=y ,进而5≤x ,∴ 5=x ,4. 检验知2、3、5能使zx y xy +z +-1能被xyz 整除,∴ ),,(z y x )5,3,2(=)3,5,2(=)5,2,3(=)2,5,3(=)3,2,5(=)2,3,5(=.7.设1e )1(=)(--x x x f . (1)证明当0>x 时,0<)(x f ; (2)令1e =1+-n n x x n ex ,1=1x ,证明n x 递减且n n x 21>. 解析 (1)因为0=1e )01(=)0(0--f ,又当0>x 时,x x e x e x f )1(+=)('--x xe -=0<, 所以当0>x 时,0<)(x f ;(2)由1e =1+-n n x x n ex ,得nx x x en n 1e =1+-,又x e x+1>,可得0>n x . 由(1)知0>x 时,0<)(x f ,0<1e )1(=)(--n xn n x x f ,1+e =1>e n n n x n x x n x e x -,∴1+e >e n n x x ,即n n x x <1+,n x 递减.下面用数学归纳法证明 nn x 21>. 1=n 时显然成立,假设k n =(*∈N k )时,kk x 21>, 构造函数x1=)(-x e x g ,当0>x 时,)(x g 为增函数,∴)21(>)(k k g x g .又当0>x 时,2+1>2xe x,再设函数))((=)(2xe x g x x h -,则0))2+1(=2+1=)(222'>-()-(x e e e x e x h xx x x,)(x h 在)÷∞,0(上是增函数, 0>)21(k h ,∴1+21>)21(k e g k , ∴1121++>k k e e x, 1121++>k k x , 由数学归纳法知,对于正整数n ,有n n x 21>.。