2010年北京大学、香港大学、北京航空航天大学
三校联合自主招生考试试题
（数学部分）
1．（仅文科做）02
απ<<
，求证：sin tan ααα<<．（25分）
【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02
x π<<
时，()1cos 0f x x '=->．于是
()f x 在02x π
<<
上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0
g x x x =->．
(0)0g =，当02
x π<<
时，2
1()10
cos g x x
'=
->．于是()g x 在02
x π<<
上单调增．
∴在02
x π<<
上有()(0)0g x g >=．即tan x x >．
注记：也可用三角函数线的方法求解．
2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB
2
（25分）
【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面
直角坐标系．
⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1
m ax
AB
O P PR =<；
⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．
不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使A B 最大的B 点必位于线段PQ 上． 且当B 从P 向Q 移动时，A B 先减小后增大，于是max
AB
AP AQ
=或；
对于线段PQ 上任意一点B ，都有2B R B A ≥．于是
22max
AB
R P R Q
==
由⑴，⑵知2m ax
AB
R P
=．不妨设为x ．
下面研究正五边形对角线的长．
如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交E G 于H ． 易知5
EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=．
于是四边形H G IF 为平行四边形．∴1HG =．
由角平分线定理知11
1
EF EH x FG
x HG
===
-
．解得2x =．
3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分） 【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线A C 与直线
BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ， 且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>． 由于2y x '=-，
于是A C 的方程为2222x x y y =--；①
BD 的方程为1122x x y y =--． ② 联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---．
对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -； 对于②，令0y =，得11
2(,0)
2y D x -．
于是2
2
12121
2
1
2
22112222y y x x CD x x x x --++=
-
=
-．
121(1)2
EC D S CD x x ∆=
-．不妨设10
x a =>，20x b -=>，则
2
2
22
111111()(1)(22)44EC D a b S ab a b a b ab a b a b ∆++=++=+++++
1111
()(2)(2)44a b ab ab ab ab
=+++⋅++≥ ③
0s =>，则有
3
3
1111
111
(2)(.....)2
2
3399ECD S s s s s s s
s s ∆=
++
=
+
+++++
6个 9个
1
243
6
916
16
1111
16)]
8()
2
3
93
s s s
⋅⋅[⋅(
⋅()=⋅
≥3
21
8)3=⋅(=
④
又由当123
3
3
x a x b s ===-=-
=
③，④处的等号均可取到．
∴min ()ECD S ∆=
I
H G
F E
11
1
1x x-1
注记：不妨设3
11()(2)2g s s s s
=++
，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．
由2
2
11()(32)2
g s s s
'=
+-
知当2
103
s <<时()0g s '<；当21
3
s <时()0g s '>．
则()g s 在(0,3
上单调减，在)
3
+∞上单调增．于是当3
s =
()g s 取得最小值．
4．向量O A 与O B 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105
t <<
时，夹角的取值范围．（25分）
【解析】 不妨设O A ，O B 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令
2
2
2
()(1)42(1)2cos g t PQ
t t t t α==-+-⋅-⋅2
(54cos )(24cos )1t t αα=++--+．
其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x
+=
+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3
αα
+-+≤
≤
．
当12cos 1054cos 3
αα++≤
≤时，012cos 1(0,
)54cos 5
t αα
+=
∈+，解得
223
αππ<<
．
当12cos 1054cos α
α
+-<+≤
时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意．
于是夹角的范围为2[,]2
3ππ．
5．（仅理科做）存不存在02
x π<<
，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分）
【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )
cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x
-+-=-=，
则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x +=．
若cos sin 0x x -=，有4
x π=．而此时
1,122
不成等差数列；
若cos sin 1sin cos x x
x x
+=
，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =±．
而11
sin cos sin 2(0,]22
x x x =∈，矛盾！。