. .word 资料. ..一、填空题（共30分，每填对一空得3分）1、函数23u xy z =在点(1,1,1)P 处沿方向(1,2,3)有最大方向导数，最大方向导数等于．2、设arctan x y z x y -=+，则 z x ∂=∂22y x y+，. .word 资料. ..22z x ∂=∂()2222xyx y -+．3、函数(,)z z x y =由方程230zx y z e ++-=确定；则 z x ∂=∂21z x e -， z y ∂=∂231z y e -．. .word 资料. ..4、微分方程d 2d y xy x=的通解为2x y ce =；0d ()d yx y x xx -=>的通解为 ln y x x cx =+．5、设函数(,)f x y 连续，(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+⎰⎰，其中D 由直线0y =，1x =和y x =所围，则(,)d d Df u v u v =⎰⎰14，(,)f x y =14xy +．. .word 资料. ..二、单项选择题（共20分，每题4分） 1、设函数(,)z f x y =的全微分d d d z x x y y =+，则点. .word 资料. ..(0,0)O (D) ．(A) 不是(,)f x y 的连续点； (B) 不是(,)f x y 的极值点；(C) 是(,)f x y 的极大值点； (D) 是(,)f x y 的极小值点．2、设函数(,)f x y =，则 (B) ．(A) (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在；. .word 资料. ..(B) (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (C) (0,0)x f '和(0,0)y f '都存在； (D) (0,0)x f '和(0,0)y f '都不存在．3、设积分域D ：221x y +≤，221sin()d d DI x y x y =+⎰⎰，. .word 资料. ..332sin()d d DI x y x y =+⎰⎰，443sin()d d DI x y x y =+⎰⎰，则 (B) ． (A) 123I I I >>； (B) 132I I I >>； (C) 213I I I >>； (D) 231I I I >>．4、设函数()f u 连续，D ={}22(,)2x y x y y +≤，则. .word 资料. ..()d d Df xy x y ⎰⎰等于 (D) ．(A)11d ()d x f xy y -⎰⎰；(B) 2002d ()d y f xy x ⎰⎰；(C) 2sin 20d (sin cos )d f r r πθθθθ⎰⎰； (D)2sin 2d (sin cos )d r f r r πθθθθ⋅⎰⎰．5、函数(,)f x y 在点(0,0)O 处可微的一个充分条件. .word 资料. ..是 (D) ． (A)(,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=；(B) 0(,0)(0,0)lim 0x f x f x →-=, 0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=；(C) 0lim (,0)(0,0)x x x f x f →''= 且 0lim (0,)(0,0)y y y f y f →''=；(D) (,)(0,0)(,)(0,0)lim0x y f x y f →-=．三、（10分）求微分方程 2(34)xy y x e ''-=+ 通解．. .word 资料. ..解 特征方程 210λ-=，特征根 121,1λλ=-=；------2分对应的齐次方程的通解 12x xy c e c e -=+ -----5分 设原方程的特解*2()xy ax b e =+并代入原方程，解得: *2xy xe = -----9分 原方程的通解: 212x x xy c e c e xe -=++ -----10分四、（10分）求曲线L ：22260x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩ 在点(1,2,1)P -处的切线和法平面方程．. .word 资料. .. 解 对x 求导，得 222010x yy zz y z ''++=⎧⎨''++=⎩ 在点(1,2,1)P -处，211y z y z ''-+=-⎧⎨''+=-⎩，得 0y '=，1z '=- ------6分切线方程： 121101x y z -+-==- -----8分 法平面方程： 0x z -= -----10分五、（10分）计算二重积分 2(3)d d D I x y x y =+⎰⎰，其中D ：221x y +≤．. .word 资料. .. 解 2222(96)d d (9)d d D D I x y xy x y x y x y =++=+⎰⎰⎰⎰（奇偶性+对称性）-------2分2222221(9)(9)d d 5()d d 2D Dx y x y x y x y x y ⎡⎤=+++=+⎣⎦⎰⎰⎰⎰ （轮换对称性） -------4分2130055d d 2r r πθπ==⎰⎰ ------10分 六、（10分）在曲面S ：22221x y z ++=上求距离平面26x y z +-=的最近点、最远点．. .word 资料. ..解 点(,,)x y z 到平面的距离26x y z +--，---2分 设 2222(,,,)(26)(21)L x y z x y z x y z λλ=+--+++-------2分令 2224(26)402(26)202(26)20210x y z L x y z x L x y z y L x y z z L x y z λλλλ'=+--+=⎧⎪'=+--+=⎪⎨'=-+--+=⎪⎪'=++-=⎩ ------6分 解得 最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P --. .word 资料. .. -----10分六、（10分）在曲面S ：22221x y z ++=上求距离平面∏：26x y z +-=的最近点、最远点．解令 0000(,,)P x y z S ∈, 椭球面S 过0P 切平面方程. .word 资料. .. 1000:2 1.x x y y z z ∏++=令12//∏∏，有: 0002211x y z ==-， (1) 又： 22200021x y z ++=， (2) 解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P --定理 设0000(,,)P x y z S ∈，而S 为实二次曲面22222 2 A x B xy C x z Dy E y z F z +++++2 2 20,G x H y I z J ++++=. .word 资料. .. 若 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G,Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H,Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I ,不全为零, P 0 称为S 的寻常点. 则二次曲面S 在0000(,,)P x y z 处的切平面方程为:()()()00000000 A x x B x y xy C x z x z Dy y E y z y z +++++++()()()0000 0.F z z G x x H y y I z z J ++++++++=七、（10分）设函数()f u 在(0,)+∞二阶连续可微，(1)0f =，(1)1f '=，且z f =. .word 资料. .. 满足22220z z x y ∂∂+=∂∂，求()f u ． 解u =，则 ()z x f u x u∂'=∂，222232()()z y x f u f u x u u ∂'''=+∂； ()z y f u y u∂'=∂，222232()()z x y f u f u y u u ∂'''=+∂. --4分 代入原方程并化简，得 1()()0f u f u u'''+=，即 ()()(())0u f u f u u f u '''''+==， ------5分. .word 资料. .. 从而 1()u f u c '=。

由(1)1f '=，得11c =，故：1()f u u'=。

2()ln f u u c =+，再由(1)0f =，得20c =，所以 ()ln f u u =. ------10分。