CDx
v+Dv
x+Dx
10
L—每一回路单位的串联电感; C—每一单位长度的分路电容. i LDx v x CDx i+Di
v+Dv x+Dx
11
i v (v Dv) LDx t v i L x t
i LD x v x CDx i+Di
(1.4)
v+Dv x+Dx
12
div D (1.11) J—传导电流面密度,—电荷的体密度.
26
D rot H J t B rot E t div B 0 div D
(1.8) （ 1.9) (1.10) (1.11) (1.12)
D E B H J E
(1.13) (1.14)
1
第一章 一些典型方程和定解条件的推导 §1.1 基本方程的建立
2
例1 弦的振动 设有一根均匀柔软的细弦, 平衡时沿直线拉紧, 而且除受不随时间而变的张力作用外, 不受外 力影响. 下面研究弦作微小横向振动的规律. 所谓"横向"是指全部运动出现在一个平面上, 而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动. 所谓"微小"是指的振动的幅度及弦在任意位 置处切线的倾角都很小, 以致它们的高于一次 方的项都可略而不计.
32
例4 热传导方程 在物体中任取一闭曲面S, 它所包围的区域记 作V. 假设在时刻t区域V内点M(x,y,z)处的温度 为u(x,y,z,t), n为曲面元素DS的法向(从V内指向 V外). 由传热学中傅里叶实验定律可知, 物体在无穷 小时间段dt内, 流过一个无穷小面积dS的热量 dQ与时间dt, 曲面面积dS, 以及物体温度u沿曲 面dS的法线方向的方向导数三者成正比
f f f f 2 2 2 Df x y z 2 2 2 其中 D 2 2 2 x y z
2 2 2 2
称为拉普拉斯(Laplace)算子.
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i j k x y z j k ( Pi Qj Rk ) F i y z x
8
例2 传输线方程 对于直流电或低频的交流电, 电路的基尔霍夫 定律指出同一支路中电流相等, 但对于较高频 率的电流(指频率还没有高到能显著地辐射电 磁波的情况), 电路中导线的自感和电容的效 应不可忽略, 因而同一支路中电流未必相等.
9
今考虑一来一往的高频传输线, 它被当作具有 分布参数的导体. 在具有分布参数的导体中, 电流通过的情况, 可以用电流强度i和电压v来 描述, 此处i与v都是x,t的函数, 记作i(x,t)与 v(x,t). i i+Di LD x v x
14
v i L x t
(1.4)
i v C (1.5) x t (1.4)对x求偏导, 将(1.5)对t求偏导, 得 2 2 2 2 v i i v L , C 2 2 x tx tx t 2 2 v v LC 2 2 x t
2
(1.16)
30
H 1 2 H, 2 t
2 2
(1.15)
E 1 2 E, (1.16) 2 t (1.15)与(1.16)称为三维波动方程. 用标量形式 表示可写成 2 2 2 2 u u u 2 2 2 u a u a 2 2 2 (1.17) 2 t y z x 1 2 u是E(或H)的任意一个分量, 而 a
29
最后得到H所满足的方程为
H H H 2 t t 同理, 若消去H即得E所满足的方程 2 E E 2 E 2 t t 如=0, 则 2 H 1 2 H, (1.15) 2 t
2 2
E 1 2 E, 2 t

31
从(1.11)和(1.12)还可以推出静电场的电位所 满足的微分方程. 因Egrad u, 由 div D= div E= 可得 div grad u/, 或 2 u . (1.18)

此非齐次方程称为泊松(Poisson)方程. 如果静电场是无源的, 即r=0, 则(1.18)变成 2u=0 (1.19) 这个方程称为拉普拉斯(Laplace)方程.
15
最后得
i 1 i , 2 2 t LC x 2 2 v 1 v 2 2 t LC x 这两个方程称为高频传输线方程. 1 2 若令 a LC 这两个方程与(1.3)完全相同. 由此可见, 同 一个方程可以用来描述不同的物理现象
2 2
16
复习高等数学内容 以i,j,k分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量, 则 任何一个三维空间的点或者向量a可表示为 a=xi+yj+zk, 或表示为a=(x,y,z) 则二向量a1=(x1,y1,z1)和a2=(x2,y2,z2)的数量积 或点积为: a1· a2=x1x2+y1y2+z1z2 它们的向量积或叉积为
28
E rot H E t H rot E t div H 0
(1.8)' （ 1.9)' (1.10)' (1.11)'
div E
2
H H rotrot H 2 t t 而rotrot H=graddiv H2H=2H
18
数量场函数f(M)的梯度是一个向量场函数, 记 为grad f(M) f f f grad f ( x, y, z ) i j k x y z 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向 与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为 方向导数的最大值.
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向量场函数F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k在点M 处的散度是一个标量场函数, 记为div F, P Q R div F x y z 在这里可看作稳定流动的不可压缩流体在 点M的源头强度—在单位体积内所产生的 流体的质量. 如果为负, 表示点M处流体 在消失.
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—介电常数,—导磁率,—导电率.
E rot H E t H rot E t div H 0
(1.8)' （ 1.9)' (1.10)' (1.11)'
div E
rotrot H rot E rot E t 2 H H 2 t t
3
u
u ( x, t ) T sin a T sin a d s 2 t2 Nhomakorabeads
a
M'
a'
T'
M
T
O
N x
N' x+dx
x
4
或
u ( x, t ) T sin a T sin a d s 2 t
2
2
u ( x, t ) u ( x d x, t ) u ( x, t ) T d s 2 t x x (1.2) 或
33
DS M
n
V
S
热场
34
u d Q k d S d t n k (grad u ) n d S d t k grad u d S d t
DS M
n
k为热传导系数.这里为常数。 从时刻t1到t2, 通过曲面S流 入区域V的全部热量为(负号 表明热量是由高温向低温流 t2 动) Q1 k grad u d S d t t1 S
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向量场函数F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k在点M 处的旋度是一个向量场函数, 记为rot F, R Q P R Q P rot F i k j y z z x x y i j k x y z P Q R
T u ( x, t ) u ( x, t ) 2 2 x t
2 2
5
最后得
u T 2 u 2 a , (a ), 2 2 t x
2 2
(1.3)
(1.3)式称为一维波动方程.
6
如果在振动过程中, 弦上另外还受到一个与弦 的振动方向平行的外力, 且假定在时刻t弦上x 点处的外力密度为F(x,t), 则按照同样的推动 办法, 可得到弦的强迫振动方程为 2 2 u 2 u a f ( x, t ) (1.3) 2 2 t x 其中 f ( x, t )
i a b x1 x2 j y1 y2 k z1 z2
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( y1 z2 y2 z1 )i ( z1 x2 z2 x1 ) j ( x1 y2 x2 y1 )k
用M来代表三维空间中的一点x,y,z, 则一个数 量场函数就是一个三元函数, 用f(M)表示. 一 个向量场函数F(M), 表示每给一点, 都有一个 向量与之对应, F(M)可表示为 F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k 其中P(M),Q(M),R(M)都是数量函数. 一个数量场函数f(M)在某点x,y,z的沿l方向的 方向导数为 f f f f cos a cos cos l x y z 其中a,,为方向l的方向角
V
S
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上式的负号表示热流流向是温度梯度的相反 方向。
36
Q1 k grad u d S d t t1 S 因S为闭曲面, 式中的二重积分可利用高斯公 式化为三重积分, 即
n
dS
F ds
t
其中Fn为向量场函数在曲面元法线方向上 的投影, 而Ft为向量场函数在曲线切线方向 上的投影.
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例3 电磁场方程 电磁场的特性可用电场强度E与磁场强度H以 及电感应强度D与磁感应强度B来描述. 它们 可用麦克斯韦(Maxwell)方程组描述为: D rot H J (1.8) t B rot E （ 1.9) t div B 0 (1.10)