不考虑垂直杆方向的形变，根据Hooke定律，应力与应变成正 比，即
∂u P=E ∂x
2 ∂ 2u 2 ∂ u =a 2 ∂t ∂ x2
0< x< l
, t>0
E a = ρ
2
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例6：一根均匀杆，原长为l，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长e而静 止。突然松手，任其纵向振动。写出定解问题。
本书所涉及的定解问题，都是古典的，适定的。
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二阶线性偏微分方程 2u ∂ 2u A 2 + 2B + Fu = f ( x, y ) +E +C 2 + D ∂y ∂x ∂y ∂x∂y ∂x
∂2 ∂2 ∂2 ∂ ∂ L = A + 2 B + C + D + E + F ∂x∂y ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2
压缩或伸长，这种伸缩传开了去，就有纵波沿着杆传播。试导出它的振动方 程。
x
x + dx
x
B
u
B
u + du
解：首先推导泛定方程，设杆的横 截面积为S ，杨氏模量为E，密度 为ρ。 du 为自变量 x 从 x 变化到 x + dx，
而对应的函数值由 u( x , t ) 变化到 u( x + dx , t ) 的改变量。这里是点
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补充： 杨氏模量(Young‘s modulus)是描述固体材料抵 抗形变能力的物理量。一条长度为L、截面积 为S的金属丝在力F作用下伸长∆L。F/S叫应力， 其物理意义是金属丝单位截面积所受到的力； ∆L/L叫应变，其物理意义是金属丝单位长度所 对应的伸长量。应力与应变的比叫弹性模量。 根据胡克定律，在物体的弹性限度内，应力与 应变成正比，比值被称为材料的杨氏模量。
∂u ∂x
x=l
=0
(t > 0)
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例7:
已知：把高频传输线充电到具有电压E，然后一端短 路封闭，另一端仍保持断开 ∂i ∂v 求：电压u(x,t)的分布
∂x +C ∂t + Gv = 0
i=0 解：传输线上的初始电压为 E，系统的初始条件为： ∂u u ( x, t ) t = 0 = E ∂t
x=L
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参考：
热传导的傅里叶定律:
单位面积
∂u q = −k ∂x
热流
高温 0
q
u x
∂u ∂x
低温
0
热流沿 x 方向传递,任意 x 处的温度为u,温度梯度 ∂u 为 ∂ x ，q 表示在单位时间 内流经单位面积的热量， k 是热传导系数，负号表 示热流方向与温度梯度 方向相反。
Lu = f ( x , y )
2 ∂ 2u 2 ∂ u =a + f ( x, t ) 2 2 ∂t ∂x
∆>0 （双曲型）
如一维波动方程
∆ = B − AC
2
∆=0 （抛物线型）
如一维热传导方程 ∆<0 （椭圆型） 如二维拉氏方程
2 ∂u ∂ u = a 2 2 + f ( x, t ) ∂t ∂x
∂u −k ∂x = H (u
x=L x=L
− u0 )
u0是外界介质温度
∂u u + h ∂x
= u0
x=L
k h= H
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定解问题为:
2 ∂u ∂ u 2 =a (0 < x < L, t > 0) 2 ∂t ∂x u t = 0 = φ ( x ) (0 ≤ x ≤ L )
∂u ∂x
=0
t =0
传输线x=0端短路，则电压为零；x=L端开路，则电流 为零
u ( x, t ) x = 0 = 0
=0
x=L
∂v ∂i + L + Ri = 0 ∂x ∂t
i=0
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定解问题为：
2 ∂ 2u ∂ u 2 =a 2 ∂t ∂x 2
(0<x<L, t>0)
∂u =0 ∂t t =0
2 2
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0< x< l , t>0
（1）泛定方程
这就是杆在平衡位置，具有横坐标为 x ∈ (0, l ) 的横截面上的纵向位移量 u ( x , t ) 所 满足的偏微分方程。它是一维齐次波动方程。 （2）初始条件
由题意知，当 t = 0 时，杆被拉长了 e ，因此单位长度内杆被 拉长了 e .由此可见，原来在平衡 位置， l
解: 泛定方程的推导，设杆的横截面积为 S ，杨氏模量为 E，密度为ρ。
0 x x+d x x u
如图建立坐标系， 并选取任意微元。
由Hooke 定律，微元所受到的弹性力为：
−ES ∂u ( x, t ) ∂x
ES
x x+d x
∂u ( x + dx, t ) ∂x
依据牛顿运动定律，得
2 ∂ ∂u( x, t ) = ρ S u d x ∂u( x + dx, t ) −ES ES 2 ∂ t ∂x ∂x
ρ Sdx = dm （微元质量）
∂ u (l , t ) ∂ 2 u (l , t ) 知，在此位置，速度 最大，而加速度 为零！据此可知所受之 弹性力为零！ ∂t ∂t 2
即，弹性体（杆）伸长的改变量
∂u ∂x
x=l
=0
振动问题在平 衡位置处的 运动特征
放手后x=L端就是自由端了，即在振动过程中这一端不受任何 外力的作用。
∂ 2u ∂ 2u + 2 =0 2 ∂x ∂y
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线性方程的“算符形式”
波动方程： 波动方程：
线性方程 :, t ) = 0 L u (x , y , z 函数 u 及它 的各阶导数 都是一次幂
∂2 2 2 ∂t 2 − a ∇ u ( x, y, z , t ) = 0
具有横坐标为 x 的横截面的位移（伸长 ）应为（假设
e<l,
e < 1) l
请验证： t = 0 时， u= e x l x=0 , u=0 x=l , u =e
初位移
l
e u t =0= x l
∂u =0 ∂ t t =0
x
l
由题意知，初速为零， 得到
初速度
e
x
0
x
u
u(x,t)指的是杆上x点在时 刻t的位移，不是此时杆 的长度，而是杆的伸长
ρ Sdx = dm （微元质量）
令 a2 = E ρ , 于是得到
∂u ( x + dx, t ) ∂u ( x, t ) − 2 E ∂x ∂x = ∂ u ρ dx ∂t 2
2 ∂ 2u 2 ∂ u =a 2 ∂t ∂ x2
0< x<l
, t>0
第 6题
∂ u 2 ∂ u = a ∂ t2 ∂ x2
（3）边界条件
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由坐标系的选取知，对 于任意时刻 t ( t > 0 ) ，在 x = 0 （左端，固定端），总 是有
l
u
x
l
x=0
= u (0, t ) = 0
x
e
当杆回到平衡位置时 ( x = l )，由运动方程
2 ∂ ∂u ( x, t ) = ρ S u d x ∂u ( x + dx, t ) −ES ES 2 ∂ t ∂x ∂x
∂u ∂x =0
x= L
u ( x, t ) t = 0 = E
(0≤x ≤ L) (t>0)
u ( x, t ) x = 0 = 0
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例8:
有界杆的长度为L，其左端保持绝热, 右端自由散热 (设外界介质温度为摄氏零度)。已知杆内初始温度 分布为函数φ(x)，写出杆内任意时刻的温度分布的 定解问题。
∂u ∂x
= 0,
x =0
∂u u + h ∂x
= u0
x=L
(t>0)
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例9：
长度为L的均匀杆，侧面绝热。设杆一端的温度为零， 另一端有恒定热流q 进入 (即单位时间内通过单位面 积流入的热量为q )，已知杆的初始温度分布 为 x( L − x) ，试写出相应的定解问题。
0
L
x
x=L
q = k
x
∂u ∂x
q
0 L
∂u ∂x
q = k
x=L
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∂u 2 ∂ u =a ∂t ∂x 2
2
(0 < x < L , t > 0)
u t =0
x( L − x ) (0 ≤ x ≤ L ) = 2
∂u = 0， ∂x q = (t > 0) k
u x =0
叠加原理: 一个例子
对于线性偏微分方程
∂ 2u ∂ 2u 1 (sin k π x + sin k π y ) + = ∂x 2 ∂y 2 k2 − ∞ < x , y < +∞ k = 1, 2 , 3 , L
如果 u1 和 u 2 均是它的解,即
Lu1 = 0, Lu 2 = 0
则 u1 和 u 2 的线性组合 u = au1 + bu 2 也是该方程的解。 证明： Lu = L( au1 + bu 2 ) = aL(u1 ) + bL(u 2 ) = 0 叠加原理为求解定解问题提供了有力的工具