一、假设129,,X X X …，是来自总体()2~,X N μσ的简单随机样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，求下列常数a 的值。
（1）()
0.78P X a σμ<+=；（2）922113.49()15.51i i P X X a σ=⎛⎫
<-≤= ⎪⎝⎭
∑；（3）
0.05X P a S μ⎛⎫
->= ⎪⎝⎭。
解：（1
）2~(,
~(0,1)x x N N N σμ
x p a <
=
即
2.34},(2.34),0.99x p a a a <=Φ==。
（2）
2
22
(1)~(1)n s n χσ
--
99
2
22
211
9
2
2
12
2
1:()(1)()11
{3.49()
15.51}(1){3.4915.51}(15.51)(3.49)10.950.10.85
i i i i i
i s x x n s x x n p x x a
n s p a
a a a σ
σ
===-⇒-=--<-≤=-<
≤=Φ-Φ+=-==∑∑∑
（3
2
22
(1)~(0,1),
~(1)X n s N n χσ
--
~(1),t n -
即
()
~(1)3(){}0.05
3()1{}0.053(){}0.95
1.86
X t n s
X p a s
X p a s X p a s a μμμμ--->=--≤=-≤==
二、设总体X 的密度函数()2,0
()00,0
x xe x f x x λλλ-⎧>=>⎨≤⎩其一个样本为12,,n X X X …，
（1）求()1
g λλ
=
的最大似然估计量T ；
（2）验证T 是否为()1
g λλ
=的有效估计量，若是，写出信息量()I λ； （3）验证T 是否为()1
g λλ
=
的相合估计量。
解：（1）1
2
21
1
1
()(,)()()n
i
i
i n
n
n
x x n
i
i i I I i L f x x e
x e
λ
λλλλ
λ=--===∑=
==∏∏∏
1
1
11ln ()2ln ln 2ln ()01112212
n
n
i i
i i n
i i n i i L n x x d n L x d x x n T X
λλλλλλλ=====+-=-===∴=∑∑∑∑
（2）由（1）
121220211ln (,,,)2()21
,()22
1111
()()222n n i i x d n L X X X X n X d T X c n
E T E X EX x e dx λλλλλ
λλλ=+∞-=-=--==-====
∑⎰ T 是
1λ得无偏估计量因而T 是1
λ
的有偏估计量。
信息量2()()2
()c g I n λλλλ
'==
（3.）2
()10()()2g DT n c n λλλ'=
=→→∞故T 是1
λ
得相合估计。
三、为了检验一种杂交物的两种新处理方案，在同一地区随机地选择8块地段，在各实验地段，按两种方案处理作物，这8块地段的单位面积产品是（单位：公斤）
假设这两种产量都服从正态分布，分别为()()2
2
1
2
,,,N N μσμσ，2
σ
未知，求12μμ-的
置信度为95%的置信区间。
解：由给定的两组样本值，有：
2211222
8,81.625,145.696,8,75.875,102.1257145.6967102.125123.910
14
n X S n Y S S ω
=
=====⨯
+⨯==
置信度为95%，则0.05α=
()120.97512
1212
(2)14 2.145
81.62575.875 5.75(2) 2.14511.94t
n n t X Y t
n n S αα-
-
+-==-=-=∆=+-==
所以，12μμ-的95%的置信区间为
()()(), 5.7511.94,5.7511.94 6.19,17.69X Y X Y --∆-+∆=-+=-。
四、设总体()~,1X N a ，其一个样本为12,,n X X X …，；对于假设01:1,:2H a H a == （1
）取检验水平为α，写出检验0H 的统计量和拒绝域；
（2）若拒绝域为{}
X c >且犯两类错误的概率均不大于0.05。
求样本容量n 和常数
c 。
解：（1)
()~0,1X a N -拒绝域
0:1K x >+ （2）{}}
1(
1)1)10.05P X c a P
X c a
α=>==->
-==
{}}
0.950.051) 1.645
2(2)2)20.05
2) 1.645
10.824
c u P X c a P
X c a c u n β-===≤==->-==-==-=
故11, 1.5n c ==。
设()
201,~0,,1,2,i i i i y x N i ββεεσ=++=…，5，125εεε，，…，相互独立，求：
（1）01ββ，的最小二乘估计01
ˆˆββ，； （2）残差平方和1e SS 估计的标准差ˆσ
，样本相关系数r 。
解：5,2, 2.5,11.85,10.173xx yy n X l Y l =====
1
12.5255211.85n
xy i i i l x y nX Y ==-=-⨯⨯∑
(1) 1
5.025
ˆ 2.012.5
xy xx
l l β==
= 01
ˆˆ11.85 2.0127.83Y X ββ=-=-⨯= 所以，回归方程为01
ˆˆˆ7.83
2.01y x x ββ
=+=+ （2
）11ˆ10.173
2.01 5.0250.07275e yy xy SS l l β=-=-⨯= ˆ0.1557
0.9964
l r σ
==
====
试问吸烟量与肺炎是否有关系（）？
解：0:H 吸烟量与肺炎独立，1:H 吸烟量与肺炎不独立
2
32
220.9511
()14.67(2) 5.99i j ij j i i j
n n n n
n n n χχ==-
==>=∑∑
故属于拒绝域认为吸烟量与肺炎不独立，是又关的。
2222179913.55,227249.98E T A R S S S S ==+=
F 值为0.951.93(3,22) 3.05F <=所以接受0H 认为这四种灯丝的寿命没有差别。