(k 1,2,3)
如果 lim x j ( k ) x j k
(k )
( j 1, 2, , n) ，则称向量序列
(k )
T x 收敛于 x ( x1 , x2 , , xn )，简称 x 收敛，
记为 lim x ( k ) x 或 x ( k ) x
体现出来。
3.1.3 向量范数的等价性
定义3.1.2 设 p 和 q 是 Vn 中的两
种向量范数，如果存在正数 和 使 得对任意 x Vn ，都有
x
p
x
p
q
x
q
p
则称向量范数

与

等价。
向量范数的等价关系具有：
（1）自反性
（2）对称性 （3）传递性
定理3.1.2 (1) (2)
（3）
max L( x )
x 1
min A( x )
x 1
A A 1
（假定A可逆）
结论(1)和(2)说明“单位圆”上的 向量在线性变换下，象的最长长度
为 A ，最短长度为
A
1 1
，结论(3)
刻画了单位圆在线性变换下变形的 程度。
例 3.3.1
x2
T z 2
x2
T ( z1 )
向量的范数具有下列性质：
1 (1). 当 x 0 时, x 1; x ( 2). x V , 有 x x ; ( 3). ( 4). x y x y; x y x y.
定义了范数的向量空间称为赋范向
量空间。 在赋范向量空间
Vn 中，向量
x 与 y之
间的距离可定义为 x y 的范数，即
由结论(2)知
1 min T ( x ) 1 x 1 A
，因此
L( w ) L( z ) A wz wz 1 A A 1 L( w ) w w 1 A wz cond ( A) w
其中 cond ( A) 条件数。
A A 1
称为矩阵 A 的
例 3.2.1； 例 3.2.2
同向量范数一样，矩阵范数也是多种多
样的。在计算过程中，矩阵的范数与向 量范数常常混合在一起使用，因此很自 然地会想到是否可以类似于 x
x
，
从 Ax 中将 A 提取出来呢？这可由矩阵 范数与向量范数相容的概念来实现。
定义3.2.2 数，

设
是 C mn 上的矩阵范 m
d ( x, y ) x y
在这个意义下的距离 d 具有平移不变 性，即若 a V ，则
d ( x a, y a ) d ( x , y )
容易推出 d ( x,0) d ( x a, a)，这个式子 表明 x 与 0 的距离与 x a 与 a 之间的 距离是相等的。
z2
z1
x1
x1
(a) 单位圆
（b）单位圆在线性变换下的像
下面讨论矩阵从属范数在逼近论中 的应用。
w C n ，z 设
是 w 的一个近似值，则
T (w) T ( z) A w z
上式说明象向量之间的误差不超过
wz
的
A
倍
而相对误差满足关系
T (w) T (z) A wz T (w) T (w)
Vn
中任意向量 x 都有一个实数
x
与之
对应且满足：
(1)非负性：
x 0
，当且仅当 x 0 时， x 0
x
;
(2)齐次性：对任何 ，有 x
；
(3)三角不等式：对 Vn 中任意两个向
量 x 和 y ，有
x y x y
则称
为 Vn 中向量 x 的范数，简 称为向量范数。
x
设 A C mn ，且 P C m m
都是酉矩阵，则
PA F A F AQ
例 3.2.5
F
3.3
范数的应用
长度和距离在实分析和复分析中的 应用，我们已经有充分认识，而范数是 长度和距离的推广，因此范数作为一种 推广的度量，由于其抽象性和概括性， 其应用范围自然也随之扩展。至少在矩 阵分析和数值线性代数领域，范数有着 深刻的应用。
j k 1 k 1
m
m
A 1 Aer
1
a1r amr max akj
j k 1 m
m
从而， A 1 max akj .
j k 1
定理3.2.4
(1)
设 A C
mn
，则
Ax 2 A F x
2
(2)
A2 A
F
定理3.2.5
Q C n n
3.1.2
几种常用的向量范数
定理3.1.1 按如下方式定义的函数是范数： (1)
x
1


k 1
n
xk
；
2 1/ 2
(2)
(3)
x
2
( xk )
k 1
n
；
x

max x1 , x2 , , xn 。
例 3.1.1 例 3.1.2 例 3.1.3
在 R 2和 R3中画出1-范数、2-范数、
x3
x1
(1,0,0)
(0,1,0)
(0,-1)
x1
x2
图 3.1.2
-范数意义下的“单位球”和第一象限的“单位球”
x2
(-1,1) (0,1) (1,1) （0,0,1）
x3
（0,1,1）
（1,0,1） (-1,0)
(-1,-1) (1,0) (0,-1) (1,-1)
x1
（1,1,1） （0,1,0） （1,0,0）
上式说明像向量的相对误差不超过 原像的相对误差的 cond(A) 倍。因此
cond ( A)
有点类似于微积分中的导数
(导数说明变量的变化引起函数的变
化程度)。
由于
cond ( A) A A
1
A A
1
I 1
因此 A 的条件数都大于1(注意这里
使用的范数是矩阵的从属范数)。
cond(A)
k
( k ).
不收敛的向量序列称为是发散的。 例 3.1.4
定理3.1.4 n 维向量空间 Vn 中向量 序列 x 收敛到 x 的充要条件是对
(k )
于 Vn 中任意一种范数 ，都有
lim x
(k )
k
x 0
证明：只需对1-范数成立即可。
x ( k ) x x (j k ) x j ( j 1,2, n) x (j k ) x j 0 ( j 1,2, n) x (j k ) x j 0
3.3.1
线性变换的误差分析
设 T 是线性变换，A 是与之对应的矩阵，即
T ( x ) Ax
下面研究在此线性变换下“单位圆”的象。
由从属范数

的定义及性质我们
可以推出如下结论：
（1） max L( x ) max Ax A x 1 x 1
1 （2） min L( x ) min Ax 1 （假定A可逆） x 1 x 1 A
可由不同的从属范数计算，计
算出来的结果通常是不同的，但它们的量 级大致相同，可以证明
1 cond ( A) n n cond 2 ( A)
1 cond1 ( A) n n cond 2 ( A)
n
max ( ( a1 j amj ) x j )
x 1 1 j 1 j 1
n
max ( a1 j amj ) x j
j j 1
n
max ( a1 j amj ) max akj
j j k 1
m
假定 max akj akr ，令 x er ，则
n
A max a ik
i k 1
例 3.2.4
A 1 max Ax 1 max ( a1 j x j amj x j )
x 1 1 n x 1 1 j 1 j 1
n
n
max ( a1 j x j amj x j )
x 1 1 j 1 n j 1
可知 Ax v A x v ，即它与向量范数

v
是相容的 .
在定义3.2.3中，令 则 u v 1 ，此时
Ax x
v v
x u xv
，
x A xv
Au
v
v
因此，我们可得到如下结论。
定理3.2.1
A max Ax
x 1
v
定理3.2.2
即对任意
任意从属范数都是范数，
m ， n AC
x 0 v
矩阵
v
范数或从属于向量范数

的矩阵范
数，简称为导出范数或从属范数。
若 A C mn， A 同样可由上式定义， 不同的是
Ax v , x
分别是 C m 和 C n 中 v
的同一种向量范数。
由 A 的定义
A max
x0
Ax x
v
v

Ax x
v
v
j 1 n
x(k ) x 1 0
定理3.1.4表明尽管不同的向量范数可能具有不 同的大小，然而在各种范数下考虑向量序列的收 敛问题却表现出简洁性和一致性。即是说，如果 讨论向量序列{x (k ) }收敛到 x ，此时不必讨论n个序 列 { xi( k ) }(i 1, 2, ..., n) 的收敛性，而只需讨论对某种范 数 . ，序列 也收敛。