x 6 1
x 14 2
x 3
引理3.1.1 如果实数 p 1, q 1, 1 1 1
pq
则对于任意非负实数a，b，成立 ab a p bq
pq
引理3.1.2（ Holder 不等式）
如果实数 p 1, q 1, 1 1 1 则对于任意数组
pq
说明：在p范数中，若取p<1时,它不是范数； 1-范数，2范数是p分别取1，2时的p范数
而对于p范数与∞－范数有下面的关系
定理 在向量空间C n中, 向量范数满足
证明 则
lim X X
p
p

当X=0时，结论显然成立。设
X 0, xk
max iΒιβλιοθήκη xi Xn
(
p i 1
xk
p
xi xk
1
1
1
X X T AX 2 X T BT BX 2 (BX )T (BX ) 2 BX
A
2
所以 X
1
X T AX 2
是向量范数。
A
定理:设 x 是 C n 上的向量范数, 则 x 是 x1, x2 ,, xn
的连续函数。
提示：利用连续函数的定义证明
第三章 范数理论
主要内容 一、向量范数 二、矩阵范数与算子范数 三、范数的应用
第一节 向量范数
主要内容： 1·向量范数的定义及几种常见的向量范数 2·向量范数的等价性
一、向量范数的定义
对于向量空间 C n上的任意向量 x , 对应一个实值函数 x
如果函数 Cn R 满足： 1）正定性 x 0 且 x 0 x 0
义向量函数为
1
X X T AX 2 A
X x1, x2 , , xn T Rn
试证上述函数是向量范数，称为向量的加权范数或椭 圆范数。
证明 因为A是正定对称矩阵，故存在可逆矩阵P，使得
PT AP I 从而
A PT 1 P1 P1 T P1 BT B
容易证明：向量范数的等价具有自反性、对称性和传递性.
定理 向量空间 C n 中的任意两个向量范数等价。
说明：我们证明 C n上的任一范数都与2-范数等价，
再利用范数等价的传递性即可。
证明 首先任一向量范数是 C n 上的一个连续函数
定义Dn是C n的单位球面(有界闭集)
Dn x (x1, x2 ,, xn )T Cn
n
x 1
xi
i 1
n
1
x ( 2
xi 2 ) 2
i 1
1－范数， 2－范数(或Euclid范数)
x


max
1in
xi
它们均构成范数。
∞－范数(或最大值范数)。
说明：在同一个向量空间，可以定义多种向量范数，而对 于同一个向量，不同定义的范数，其大小可能不同。
x 1,2,3T
i 1
x (x1, x2 ,, xn )T C n
证明 易验证条件(i)和(ii)成立，现验证条件(iii)也 成立。 下面用到了Chauchy-Schwarz不等式。
x y 2 x y, x y (x, x) (x, y) ( y, x) ( y, y) 2
x 1 2
x 0
x x
Dn
因为
是连续函数，
2
故它在Dn上取到最大值m和最小值M
m x
x M
x
x
2
2
mx x M x
2

2
再利用范数等价的传递性可知：C n 上的任意两个范
数都等价。
向量范数的等价性表明：按不同向量范数定义的向量的收敛性 具有一致性。
第二节 矩阵范数
对同一个向量用不同的范数度量其值一般是不等的 ，即 在不同的范数下，两个向量之间的距离是不等的。但我 们将证明它们没有实质上的区别，即范数具有下面所说 的等价性
范数等价性
对于两个向量范数

与


，如果存在常数ｍ和Ｍ
(0 m M)
使得 m x x M x



则称范数

与


等价
p1
)p

xk
n
(
xi
p1
)p
i1 xk
因为
n
xk p xi p n xk p i 1
故
n
1 (
xi
p1
1
) p n p 1( p )
i1 xk
所以
lim X
p

p
xk

max i
xi

X

说明：
我们也可以通过已知的范数构造新的向量范数.
例 设A是n阶正定实对称矩阵，在向量空间Rn中, 定
主要内容： 1·矩阵范数的定义、性质 2·算子范数（由向量诱导的矩阵范数） 3·几种常用的矩阵范数
定义
设 AC mn 定义一个实值函数 C mn R 满足：
（1）正定性 （2）齐次性
x 2 2 x y y 2 x y 2
2
22
2
2
2
两边开方即得证。
实例2 在向量空间C n中, 向量分量的最大模是一种
向量范数，称为∞ -范数。
证明
x


max
1in
xi
范数定义中的条件(i)显然成立，
现验证条件(ii)和(iii)也成立
x


max
1in
xi
2）齐次性 x x , F 3）三角不等式 x y x y
则称 x 为向量X的范数。
范数的性质： (1) x x
(2) x y x y
实例1 在向量空间C n中, 向量的长度是一种向量范数，
称为2-范数或欧氏范数。
n
1
x ( 2
xi 2 ) 2
a a1, a2 ,, an ,b b1,b2 ,,bn
成立
n
ai
bi
n
[ ai
] [ b ] p 1 n p
q1 q
i
i 1
i 1
i 1
利用上面的三个引理可以证明：在向量空间 Cn中，有下面的范数：
n
1
x ( p
xi p ) p
i 1
(1 p ) p-范数或 Holder 范数


max
1in
xi

x
x
y

max 1in
xi

yi
max(
1in
xi

yi
)

max
1in
xi
max 1in
yi

x
y
反例：设 x R1, 若令 x x2,
显然，它满足范数定义中的正定性，但不满足齐 次性，因此它不是 R1 中的范数。
定理 对 x (x1, x2 ,, xn )T C n C n R分别定义三个函数