数学归纳法
一、教学目标：
1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。

2．掌握数学归纳法证明问题的方法。

3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

二、教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。

难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

三、教学过程：
【创设情境】
1．华罗庚的“摸球实验”。

2．“多米诺骨牌实验”。

问题：如何保证所摸的球都是红球？多米诺骨牌全部倒下？处了利用完全归纳法全部枚举之外，是否还有其它方法？
数学归纳法：数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数问题的有力工具。

【探索研究】
1．数学归纳法的本质：
无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）
2．数学归纳法公理：
（1）（递推奠基）：当n 取第一个值n 0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n =k +1时结论也正确。

（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。

【例题评析】
例1：以知数列{a n }的公差为d ，求证：1(1)n a a n d =+-
说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系，是解题的关键。

②数学归纳法证明的基本形式；
（1）（递推奠基）：当n 取第一个值n 0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n =k +1时结论也正确。

（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。

EX : 1.判断下列推证是否正确。

P88 2,3
2. 用数学归纳法证明
2)1()13(1037241+=+++⨯+⨯+⨯n n n n
例2：用数学归纳法证明11111231n n n ++⋅⋅⋅≥+++(n ∈
N,n ≥2)
说明：注意从n=k 到n=k+1时,添加项的变化。

EX :1.用数学归纳法证明:1
1
1111111234212122n n n n n -+-++-=+++-++
(1)当n=1时,左边有_____项,右边有_____项；
(2)当n=k 时,左边有_____项,右边有_____项；
(3)当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项；
(4)等式的左右两边,由n=k 到n=k+1时有什么不同?
变题: 用数学归纳法证明21
1
1
1222n ++⋅⋅⋅< (n ∈N +)
例3：设f(n)=1+111
23n ++⋅⋅⋅,求证n+f(1)+f(2)+…
f(n-1)=nf(n) (n ∈N,n ≥2)
说明：注意分析f(k)和f(k+1)的关系。

【课堂小结】
1．数学归纳法公理：
（1）（递推奠基）：当n 取第一个值n 0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n =k +1时结论也正确。

（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。

2. 注意从n=k 到n=k+1时,添加项的变化。

利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系.
【反馈练习】
1．用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3,n ∈N )第一步应验证( )
A n =1
B n =2 D n =4
2．用数学归纳法证明()11
1
112312n n n N n ++++<∈>-且第
二步证明从“k 到k+1”，左端增加的项数是( )
A. 12k + B 12k - C 2k D 12k -
3．若n 为大于1的自然数，求证 2413212111>+++++n n n
证明 (1)当n =2时，24
131********>=+++ (2)假设当n =k 时成立，即24
13212111>+++++k k k 24
13
)1)(12(2124132
21
121241311221
121
2413
111
1221121213121,1>+++=+-++=+-++++>+-++++++++++++=k k k k k k k k k k k k k k k n 时则当 4．用数学归纳法证明
()()()()()*+++=⋅⋅⋅⋅-∈n n 1n 2n n 2132n 1,n N
【课外作业】
《课标检测》。