【基础知识巩固】
一、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根
（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：
如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．
（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；
一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算
-
（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；
正数a 的负的平方根可用-a 表示．
（6）a x =2 <—> a x ±=
a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x
2、算术平方根
（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这
个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号
a”，a 叫做被开方数． {
规定：0的算术平方根是0.
也就是，在等式a x =2
(x≥0)中，规定a x =。
（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；
当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；
当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如=5，
=50。
}
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小
（5）a x =2
(x≥0) <—> a x =
a 是x 的平方 x 的平方是a
x 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x
（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0）
0≥a
==a a 2 ；注意a 的双重非负性：
《
-a （a <0） a ≥0
（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：
区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；
联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
3、立方根
（1）立方根的定义：如果一个数x 的立方等于a ，这个数叫做a 的立方根（也叫做三
次方根），即如果3
x a =，那么x 叫做a 的立方根
（2）一个数a 的立方根，读作：“三次根号a ”，
?
其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。
（3） 一个正数有一个正的立方根；
0有一个立方根，是它本身； 一个负数有一个负的立方根；
任何数都有唯一的立方根。
（4）利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，
求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即
)
0a =>。
》
（5）a x =3 <—> 3a
x =
a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x
（6）33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
【典型例题分析】
知识点一：有关概念的识别
1、下列说法中正确的是（ ） A 、
的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、=±1 D 、是5
的平方根的相反数
`
2、下列语句中，正确的是（ ）
A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数
B ．负数没有立方根
C ．一个实数的立方根不是正数就是负数
D ．立方根是这个数本身的数共有三个
3、下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，
④()4832
±=±。
其中正确的有
（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
#
4、()2
0.7-的平方根是（ ）
A ．0.7-
B ．0.7±
C ．0.7
D ．0.49 5、下列各组数中，互为相反数的组是（ ）
A 、－2与2
)2(- B 、－2和38- C 、－
2
1
与2 D 、︱－2︱和2
知识点二：计算类题型
1、25的算术平方根是_______；平方根是_____. -27立方根是_______.
（
___________， ___________，___________.
2、=-2)4( ； =-3
3)6( ； 2)196(= . 3
8-= .
3、① 2+32—52 ② 7(
7
1-7)
③ |23- | + |23-|- |12- | ④
4
1)2(823
-
-+ …
4、（1）
3
27-＋2)3(-－
3
1- （2）
333
64
631125.041027-++-
--
（3）
《
知识点三：利用平方根和立方根解方程
1、（1）（2x-1）2-169=0； （2）12142
=x （3）
125)2(3=+x
~
知识点四：关于有意义的题
0a ≥0。
要使
1
a
有意义，必须满足a ≠0. 1、若a 的算术平方根有意义，则a 的取值范围是（ ） A 、一切数 B 、正数 C 、非负数 D 、非零数 2、要使62-x 有意义，x 应满足的条件是
/
3、当________x 时，式子21
--x x 有意义。
知识点五：有关平方根的解答题
1、一个正数a 的平方根是3x ―4与2―x ，则a 是多少
2、若5a ＋1和a －19是数m 的平方根，求m 的值。
>
3、已知x 、y 都是实数，且4y =，求x y 的平方根。
]
知识点六：非负性的应用
1、已知实数x ，y 满足
2=0，则x-y 等于
解答：根据题意得，x-2=0，y+1=0，
解得x=2，y=-1，
所以，x-y=2-（-1）=2+1=3．
2、
3、
已知a 、b 满足0382=-++b a ，解关于x 的方程()122-=++a b x a 。
(
3、若0)13(12
=-++-y x x ，求25y x +的值。
4、
5、
若a 、b 、c 满足01)5(32
=-+++-c b a ，求代数式
a
c
b -的值。
!
5、已知a 31-和︱8b －3︱互为相反数，求(ab )－
2－27 的值。
~
【重点知识巩固】
考点、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义
（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即
，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
（2）如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
如果，
那么x 叫做a 的平方根。
（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
如果，那么x叫做a的立方根。
2、运算名称
（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方互为逆运算。
、
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号
（1）正数a的算术平方根，记作“a”。
（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。
（3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。
4、运算公式
4、开方规律小结
，a的算术平方根a；正数的平方根有两个，它们互（1）若a≥0，则a的平方根是a
为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。
实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
（2）若a<0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是。
（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。