第2章 平面解析几何初步
2．3 空间直角坐标系 2．3.2 空间两点间的距离
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1．掌握空间中两点间的距离公式．
2．会用空间中两点间的距离公式解决有关问 题．
典例剖析 栏 目 链 接
求几何体中两点间的距离
已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)、B(2，3，4)、
C(3，1，5)．
规律总结：如何理解公式的内涵是学习公式时应
值得关注的问题，应该说两点间距离公式提供了
进行数形结合这种思维训练的平台，因此不仅要 栏
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注意公式的外在表现形式，还要挖掘其内在的东
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西．当然本题中方程结构形式比较整齐，容易看
出来，还应注意结构不整齐的情形，可尝试进行
配方解决．
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(1)求△ABC中最短边的边长；
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(2)求AC边上中线的长度．
接
分析：本题是考查空间两点间的距离公式的运用，直 接运用公式计算即可．
解析：(1)由空间两点间距离公式得：
AB＝ （1－2）2＋（5－3）2＋（2－4）2＝3，
BC＝ （2－3）2＋（3－1）2＋（4－5）2＝ 6，
AC＝ （1－3）2＋（5－1）2＋（2－5）2＝ 29，
则点 A 的坐标为________．
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解析：设点 A 的坐标为(0，y，0)，则由已知得：
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(0－0)2＋(y－1)2＋(0－2)2＝5.
解得 y＝0 或 2.
答案：(0，0，0)或(0，2，0)
空间坐标系中距离公式的几何意义
试解释方程(x－12)2＋(y＋3)2＋(z－5)2＝36的几何意
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∴△ABC 中最短边是 BC，其长度为 6.
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(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为2，3，72.
∴AC 边上中线的长度为
（2－2）2＋（3－线段的长度， 目
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解决一些与长度有关的问题．
接
►变式训练
1．已知点 A 在 y 轴上，点 B 的坐标为(0，1，2)，且 AB＝ 5，
义．
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接
分析：分析方程的结构可知，这是空间两点(x，y，z) 和(12，－3，5)距离的平方等于36.
解 析 ： 因 为 (x － 12)2 ＋ (y ＋ 3)2 ＋ (z － 5)2 ＝ 36 ， 所 以 （x－12）2＋（y＋3）2＋（z－5）2＝6，这表示动点(x，y，z)和(12， －3，5)的距离等于 6，因此方程表示空间到定点(12，－3，5)的距离 等于 6 的点的轨迹，即为球心是(12，－3，5)、半径为 6 的球面．