P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别地,原点O与任一点P(x, y)的距离 : | OP | x2 y2
收获2
一个公式：两点间距离公式 一种方法：坐标法 一种思想：转化 x1 = x2, y1 ≠ y2
| P1P2 || y2 y1 |
y
P1 (x1,y1)
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
o
x
Q (x1,y2) P2(x2,y2)
P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别地,原点O与任一点P(x, y)的距离 :
| OP | x2 y2
学以致用2：
证明直角三角形斜边的中点到三 个顶点的距离相等。
y
B (0,b)
M(
a 2
,b 2
)
o C(0,0)
A(a,0)x
学以致用3：
设P为矩形ABCD所在平面上任意 一点，求证：
|PA|2+ |PC|2= |PB|2+ |PD|2。
收获1
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离 公式是：
分析:坐标法
通过建立平面直角坐标系，用代数方法 解决几何问题的方法，称为坐标法。
例2、证明平行四边形四条边的平方和等于 两条对角线的平方和。
y
D (b,c) C (a+b,c)
o A(0,0) B (a,0) x
坐标法证明简单的平面几何问题的步骤：
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系.
练习1
已知点P1(5,1)，P2(2，－2)，则|P1P2|＝________.
[答案] 3 2
[解析] |P1P2|＝ 5－22＋1＋22＝3 2.
例1：
已知三角形ABC的三个顶点A(1,4)， B(4,1)，C(5,5)，判断三角形的形状。
例2、证明平行四边形四条边的平方和等于 两条对角线的平方和。
用坐标法证明：矩形的对角线相等．
[证明] 如图所示，以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB 所在直线为x轴建立直角坐标系．
设|AB|＝m，|AD|＝n， 则A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
3.3.2 两点间的距离
唐山市第二中学高一年级
数学组
刘得柱
已知平面上两点P1(x1,y1)，
P2(x2,y2)，如何求P1P2的距离|P1P2|呢?
y
y
P1 P2
D P2
AB
o
x
| AB || xB xA |
C P1
o
x
| CD || xD xC |
(1) x1≠x2, y1=y2
| P1P2 || x2 x1 |