第六章《实数》知识点总结及典型例题练习题
一、平方根1.
平方根的含义如果一个数的平方等于
a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

即a x
2
，x 叫做a 的平方根。

２.平方根的性质与表示⑴表示：正数a 的平方根用
a 表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a 叫做a 的负平方根。

⑵一个正数有两个平方根：a （根指数２省略）０有一个平方根，为０，记作
00
，负数没有平方根
⑶平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数
a 的平方根的运算。

a a
2
==
a
a 0
0a
a
a
a
2
（
0a ）
⑷
a 的双重非负性：0a 且
a （应用较广）
例：
y
x x 44得知0
,4y x ⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。

区分：４的平方根为____4的平方根为____
____4４开平方
后，得
____
３.计算
a 的方法
精确到某位小数　
＝非完全平方类 ＝完全平方类
773
294*若0b a ，则
b
a 二、立方根和开立方１．立方根的定义
如果一个数的立方等于
a ，呢么这个数叫做a 的立方根，记作
3
a
２. 立方根的性质
任何实数都有唯一确定的立方根。

正数的立方根是一个正数。

负数的立方根
是一个负数。

０的立方根是０.
３. 开立方与立方
开立方：求一个数的立方根的运算。

a
a
3
3
a
a 3
3
3
3
a a
（a 取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

*０的平方根和立方根都是０本身。

三、推广：
n 次方根
１. 如果一个数的n 次方（n 是大于１的整数）等于a ，这个数就叫做
a 的n 次
方根。

当n 为奇数时，这个数叫做a 的奇次方根。

当n 为偶数时，这个数叫做
a 的偶次方根。

２. 正数的偶次方根有两个。

n
a
０的偶次方根为０。

0n
负数没有
偶次方根。

正数的奇次方根为正。

０的奇次方根为０。

负数的奇次方根为负。

例1．已知实数a 、b 、c 满足，2|a-1|+
2b c +2
)2
1(c
=0,,求a+b+c 的值.
例2.若111x x y ，求x ，y 的值。

例3.若
3
12a 和3
31b 互为相反数，求b
a
的值。

跟踪练习：1．52
2
y
2
x
x
x ，求x
y 的平方根和算术平方根。

3.若
0|2|1y
x ，求x+y 的值。

实战演练：一、填空1．如果162
x
，那么_____x ；
2．144的平方根是______，64的立方根是_______；
3．
_____
25
16，
_____
81
4，
____10
4
，_____10
6
；
4．
______
287
169
，
_____
8
33
3
，
_____64
3
；
5．要切一面积为16平方米的正方形钢板，它的边长是
__________米；
6．
5的相反数是__________，绝对值是_________，倒数是_________；
9．
0144.0_______;
3
27
102
_________;
?6
32__________，
2
3
23
________，
_______2
525；
10．比较大小：
5______
6，
14.3_______π，
2
13
______ 21
；
12．若492
x
，则x =______，若64)
1(3
x ，则x =______；
14．如果
0)
6(42
y x ，那么y
x
；
15．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则
______3
cd
b
a ；
21．
2
)5(的平方根是
二、选择题
1．与数轴上的点一一对应的是（
）
A.实数
B. 正数
C.
有理数 D.
整数
2．下列说法正确的是（）．
A ．（-5）是
2
5
的算术平方根 B
．16的平方根是
4
C ．2是-4的算术平方根
D ．64的立方根是
4
3．如果
1x
有意义，则
x 可以取的最小整数为（
）．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．若
03
212
z y x 则x+2y+z= （
）
A ．6
B ．2
C ．8
D ．0
5一组数
246
135,
343,
22,16,27,2
,
14.3,3
13
这几个数中，无理数
的个数是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7.一个自然数的算术平方根是
x ，把么下一个与他它相邻的自然数的算术平方根是
（）
A. 12
x
B.
1x C. 1x D.
1
2
x
8.若一个数的平方根是8，则这个数的立方根是（
）
A.
2 B.
4 C. 2 D. 4
四、实数
1. 实数：有理数和无理数统称为实数
实数的分类：
①按属性分类：
②按符号分类
2. 实数和数轴上的点的对应关系：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．
数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2的画法：画边长为
1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：思考：
（1）－a 2一定是负数吗？－a 一定是正数吗？
（2）大家都知道
是一个无理数，那么
－1在哪两个整数之间？
(3)
15的整数部分为a,小数部分为b ，则a=
, b=
(4)判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。

①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；
④有理数都是实数，实数不都是有理数；⑤实数都是无理数，无理数都是实数；⑥实数的绝对值都是非负实数；⑦有理数都可以表示成分数的形式。

3. 实数大小比较的方法
一、平方法：
比较
2
3和
3的大小
二、移动因式法：
比较32和23的大小
三、求差法：比较
2
1
5和1的大小
练习：
一、比较下列各组数的大小：①
2和3
②
15和5
43
④
7和－2.45
⑤
3
2
7与
3
1练习：平方根1. 36的平方根是
；
16的算术平方根是
；
2. 平方数是它本身的数是（）；平方数是它的相反数的数是 ( ) ；
3. 当x=__________ 时，
12
x
有意义；
4.下列各式中，正确的是（）
(A)
2)
2(2
(B) 9)
3(
2
(C)
393
(D) 3
96.若a<0，则
a
a
22
等于（） A 、
2
1 B 、
2
1 C 、±
2
1 D 、0
9. 计算
⑴
9
144144
49⑵494⑶
4
16
13
10.若1＜x ＜3，化简2
2
3
1
x x 练习：立方根
1.当x= _________时，3
25x 有意义；
2.若164
x
，则x=_________；若813n
，则n= ________。

3.若
23
x
，则x= __________；
若
x 3
64，则x =__________；
4.若n 为正整数，则
1
21n 等于（
）
A. -1
B. 1
C.
±1 D. 2n+1
5.求χ的值：8
)
12(3
x
6.（1）
1
8
78
33
3
3
（2）8
3122)
10(973.012
3
（3）
3
3
3
)
6(25.0343-?。