第13讲 因式分解及其应用
考点·方法·破译
1．因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；
2．因式分解的基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法等；
3．因式分解的基本原则：有公因式先提出公因式、分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；
4．竞赛中常出现的因式分解问题，常用到换元法、主元法、拆项添项法、配方法和待定系数法等方法、另外形如2x px q ++的多项式，当p ＝a ＋b ，q ＝ab 时可分解为（x ＋a ）（x ＋b ）的形式；
5．利用因式分解求代数式的值与求某些特殊方程的解.
经典·考题·赏析
【例１】
⑴若229x kxy y ++是完全平方式，则k ＝______________
⑵若225x xy ky -+是完全平方式，则k ＝______________
【变式题组】
01．若22199
m kmn n -+是一个完全平方式，则k ＝________
02．若22610340x y x y +-++=，求x 、y 的值.
03．若2222410a a b ab b +-++=，求a 、b 的值.
04．已知a 、b 、c 满足22|24||2|22a b a c ac -+++=+，求a b c -+的值.
【例2】⑴把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）
A ．()()x x y x y +-
B ．22(2)x x xy y -+
C ．2()x x y +
D ．2()x x y -
⑵在实数范围内分解因式44x -＝____________
⑶因式分解2221a b b ---＝_______________
【变式题组】
⑴3223223612x y x y x y -+ ⑵2222(1)2a x ax +-
⑶222045a bx bxy -
⑷2249()16()a b b a --+
⑸222(5)8(5)16a a -+-+
【例3】要使二次三项式25x x p -+在实数范围内能进行因式分解，那么整数P 的取值可能有（ ）
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．无数多个
【变式题组】
⑴已知212x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ）
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
⑵在1~100间，若存在整数n ，使2x x n +-能分解为两个整系数的一次因式的乘积，则这样的n 有__个
【例4】分解因式：⑴221112x x -+
⑵22244x y z yz --+
⑶22(52)(53)12x x x x ++++-
⑷226136x xy y x y +-++-
【变式题组】
01．分解因式：
⑴2224912x y z yz ---
⑵224443x x y y --+-
⑶236ab a b --+
⑷(1)(2)(3)(4)1x x x x +++++
⑸261910y y -+
【例5】⑴求方程64970xy x y +--=的整数解；
⑵设x 、y 为正整数，且224960x y y ++-=，求xy 的值
【变式题组】
01.设x 、y 是正整数，并且222132y x =-，则代数式222x xy y x y +-+的值是___________
02.已知a 、b 为整数，则满足a ＋b ＋ab ＝2008的有序数组（a ，b ）共有__________
03．将2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法有（）A．16种B．14种C．12种D．10种
04．方程332232
-+-=的正整数解的个数为（）
x y x y xy
A．0个B．1个C．2个D．不少于3个
05．一个正整数，如果加上100是一个完全平方数：如果加上168则是另外一个完全平方数，求这个正整数.
【例6】已知k、a都是正整数，2004k＋a、2004（k＋1）＋a都是完全平方数
⑴请问这样的有序正整数（k、a）共有多少组？
⑵试指出a的最小值，并说明理由.
【变式题组】
01．已知a是正整数，且22004
+是一个正整数的平方，求a的最大值.
a a
02．设x、y都是整数，
y y的最大值
演练巩固 反馈提高
01．如果分解因式281(9)(3)(3)n x x x x -=++-，那么n 的值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 02．若多项式22(3)(3)x pxy qy x y x y ++=-+，则p 、q 的值依次为（
） A ．12-，9- B ．6，9- C ．9-，9- D ．0，9-
03．下列各式分解因式正确的是（ ）
A ．291(91)(91)x x x -=+-
B ．4221(1)(1)a a a -=+-
C ．2281(9)(9)a b a b a b --=--+
D ．32()()()a ab a a b a b -+=-+-
04．多项式()()()()x y z x y z y z x z x y +--+-+---的公因式是（ ）
A ．x y z +-
B ．x y z -+
C ．y z x +-
D ．不存在
05．22()4()4m n m m n m +-++分解因式的结果是（ ）
A ．2()m n +
B ．2(2)m n +
C ．2()m n -
D ．2(2)m n -
06．若218x ax ++能分解成两个因式的积，则整数a 的取值可能有（
） A ．4个 B ．6个 C ．8个 D ．无数个
07．已知224250a b a b ++-+=，则
a b a b +-的值为（ ） A ．3 B ．1
3 C ．3-
D ．1
3- 08．分解因式：2(2)(4)4x x x +++-＝__________________
09．分解因式：22423a b a b -+++＝__________________
10．分解因式：33222x y x y xy -+＝___________________
11．已知5a b +=，4ab =-，那么22223a b a b ab ++的值等于____________
12．分解因式：2242x y x y -++＝_______________
13．分解因式：2()6()9a b b a ---+＝_________________
14．分解因式：222(41)16a a +-＝___________________
15．已知20m n +=，则332()4m mn m n n +++的值为_____________
16．求证：791381279--能被45整除
17．已知9621－可被在60到70之间的两个整数整除，求这两个整数
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01．使得381n +为完全平方数的正整数n 的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
02．设m 、n 是自然数，并且219980n n m --=，则m ＋n 的最小值是（ ）
A ．100
B ．102
C ．200
D ．不能确定
03．满足方程32326527991x x x y y y ++=+++的正整数对（x ，y ）有（ ）
A ．0对
B ．1对
C ．3对
D ．无数对
04．方程323652x x x y y ++=-+的整数解（x ，y ）的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．3
D ．无穷多
05．已知42(1)M p p q =+，其中p 、q 为质数，且满足29q p -=，则M ＝（）
A ．2009
B ．2005
C ．2003
D ．2000
06．不定方程2()7x y xy +=+的所有整数解为_________________
07．已知多项式22
23286x xy y x y +--+-可以分解为(2)(2)x y m x y n ++-+的形式，那么3211m n +-的值是______
08．对于一个正整数n ，如果能找到a 、b ，使得n ＝a ＋b ＋ab ，则称n 为一个“好数”，例如：3＝1＋1＋1×1，3就是一个好数，在1~20这20个正整数中，好数有_______个
09．一个正整数a 恰好等于另一个正整数b 的平方，则称正整数a 为完全平方数，如2648=，64就是一个完全平方数；若22222992299229932993a =+⨯+，求证a 是一个完全平方数
10．已知实数a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，求2222()()a b xy ab x y +++的值
11．若a 为自然数，则4239a a -+是质数还是合数？请你说明理由
12．正数a 、b 、c 满足3ab a b bc b c ca c a ++=++=++=，求(1)(1)(1)a b c +++的值
13．某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班有m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是（mn ＋9m ＋11n ＋145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数.。