浙江省2018年4月数学学考真题试卷一、选择题1.已知集合 P={x|0≤x<1},Q={x|2≤x≤3} 记 M=P ∪Q ，则（ ）A. {0,1,2}⊆MB. {0,1,3}⊆MC. {0,2,3}⊆MD. {1,2,3}⊆M2.已知函数 f(x)=√x +1x 的定义域是（ ）A. {x|x >0}B. {x|x ≥0}C. {x|x ≠0}D. R3.设不等式组 {x −y +1≥0x +y −1≥0，所表示的平面区域记为 Ω ，则属于 Ω 的点是（ ） A. (−3,1) B. (1,−3) C. (1,3) D. (3,1)4.已知函数 f(x)=log 2(3+x)+log 2(3−x)， 则 f(1)= （ ）A. 1B. log 26C. 3D. log 295.双曲线 x 2−y 23=1 的渐近线是（ ）A. y =±13xB. y =±√33xC. y =±√3xD. y =±3x 6.如图，在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，直线 A 1C 与平面 ABCD 所成角的余弦值是（ ）A. 13B. √33C. 23D. √63 7.若锐角 α 满足 sin(α+π2)=35 ，则 sinα= （ ）A. 25B. 35C. 34D. 458.在三棱锥 O −ABC 中，若 D 为 BC 的中点，则 AD⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ） A. 12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 9.数列 {a n },{b n } (n ∈N ∗) 是公差不为零的等差数列，下列数列中，不构成等差数列的是（ ）A. {a n ⋅b n }B. {a n +b n }C. {a n +b n +1}D. {a n −b n +1}10.不等式的 |2x −1|−|x +1|<1 解集是（ ）A. {x|−3<x <13}B. {x|−13<x <3}C. 2 {x|x <−3或x >13}D. {x|x <−13或x >3} 11.用列表法将函数 f(x) 表示为 ，则（ ）A. f(x +2) 为奇函数B. f(x +2) 为偶函数C. f(x −2) 为奇函数D. f(x −2) 为偶函数12.如图，在直角坐标系 xoy 中，坐标轴将边长为4的正方形 ABCD 分割成四个小正方形，若大圆为正方形 xoy 的外接圆，四个小圆圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是（ ）A. x 2+y 2−x +2y +1=0B. x 2+y 2+2x −2y +1=0C. x 2+y 2−2x +y −1=0D. x 2+y 2−2x +2y −1=013.设 a 为实数，则“ a >1a 2 ”是 a 2>1a 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14.在直角坐标系 xoy 中，已知点 A(0,−1),B(2,0) ，过 A 的直线交 x 轴于点 C(a,0) ，若直线 AC 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的2倍，则 a = （ ）A. 14B. 34C. 1D. 4315.甲、乙几何体的三视图分别如图•图 所示，分别记它们的表面积为 S 甲，S 乙 ，体积为 V 甲，V 乙 ，则（ ）A. S甲>S乙, V甲>V乙B. S甲>S乙, V甲<V乙C. S甲<S乙, V甲>V乙D. S甲<S乙, V甲<V乙16.如图，设F为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点，过F作x轴的垂线交椭圆于点P，点A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，O为坐标原点，若ΔOAB的面积是ΔOPF面积的52倍，则该椭圆的离心率（）A. 25或35B. 15或45C. √105或√155D. √55或2√5517.设a为实数，若函数f(x)=2x2−x+a 有零点，则函数y=f[f(x)]零点的个数是（）A. 1或3B. 2或3C. 2或4D. 3或418.如图，设矩形ABCD 所在的平面与梯形ACEF 所在平面交于AC ，若AB=1,BC=√3,AF=EF= EC=1，则下面二面角的平面角大小为定值的是（）A. F−AB−CB. B−EF−DC. A−BF−CD. B−AF−D二、填空题19.已知函数f(x)=2sin(2x+π3)+1，则f(x)的最小正周期是________，的最大值是________.20.若平面向量a ,b⃗满足2a+b⃗=(1,6)，a+2b⃗=(−4,9),则a⋅b⃗=________.21.若ΔABC中，已知AB=2,AC=3,则cosC的取值范围是________.22.若不等式2x2−(x−a)|x−a|−2≥0对任意x∈R恒成立，则实数a的最小值是________.三、解答题23.在等差数列{a n}(n∈N∗)中，已知a1=2，a5=6，（Ⅰ）求{a n}的公差d及通项a n；（Ⅱ）记b n=2a n(n∈N∗)，求数列的前{b n}项和.24.如图，已知抛物线y=x2−1与x交于A、B两点，P是该抛物线上位于第一象限内的点.（Ⅰ）记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2，求证k2−k1为定值；（Ⅱ）过点A作AD⊥PB，垂足为D，若D关于x轴的对称点恰好在直线上PA，求ΔPAD的面积.25.如图，在直角坐标系xoy中，已知点A(2,0),B(1,√3)，直线x=t(0<t<2)，将ΔABC分成两部分，记左侧部分的多边形为Ω，设Ω各边的平方和为f(t)，Ω各边长的倒数和为g(t) .（Ⅰ）求分别求函数f(t)和g(t)的解析式；（Ⅱ）是否存在区间(a,b)，使得函数f(t)和g(t)在该区间上均单调递减？若存在，求b−a的最大值；若不存在，说明理由.答案解析部分一、选择题1.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用，并集及其运算【解析】【解答】由P={x|0≤x<1}，Q={x|2≤x≤3}得M=P∪Q={x|0≤x<1或2≤x≤3},故0∈M,2∈M,3∈M,则{ 0 , 2 , 3 } ⊆ M故答案为：C.【分析】先求出两个集合的并集M,再对各选项中两个集合的元素对比得到包含关系.2.【答案】A【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】要使函数有意义，则x≥0且x≠0，则x>0，即函数定义域为{ x | x > 0 }故答案为:A.【分析】含有根号和分母的函数定义域,必满足根号内非负,分母不为0.3.【答案】D【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【解析】【解答】A、将点(-3,1)代入x−y+1≥0，不成立，则点(-3,1)不在平面区域Ω内，A不符合题意；B、将点(1,-3)代入x+y−1≥0不成立，点(1,-3)不在平面区域Ω内，B不符合题意；C、将点(1,3)代入x−y+1≥0，不成立，则点(1,3)不在平面区域Ω内，C不符合题意；D、将点(3,1)代入x−y+1≥0，x+y−1≥0，两个不等式都成立，则点(3,1)在平面区域Ω内，D符合题意.故答案为：D.【分析】将各选项点的坐标代入不等式组,能满足的点就是正确的,只有D项满足.4.【答案】C【考点】对数函数的值域与最值【解析】【解答】f (1) = log2 ( 3 + 1 ) + log2( 3 − 1 )=2+1=3故答案为:C.【分析】将x=1代入函数解析式中,直接求值.5.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】由双曲线方程得:a=1,b=√3,故其渐近线方程为:y= ±√3x.故答案为:C.x,由双曲线方程可得a,b的值,代入即得.【分析】对于标准左右型双曲线的渐近线方程是:y=±ba6.【答案】D【考点】直线与平面所成的角【解析】【解答】连接AC,则∠A1CA就是直线A1C 与平面ABCD 所成角,设棱长为a,则cos∠A1CA=√2a√3a =√62故答案为:D.【分析】正方体中体对角线A1C与底面ABCD所成的角就是A1C与其在底面的射影AC所成的角A1CA，在三角形A1CA中求角.7.【答案】D【考点】同角三角函数间的基本关系，运用诱导公式化简求值【解析】【解答】由α为锐角,sin ( α +π2) =cosα=35,得sinα=45故答案为:D.【分析】由诱导公式sin(α+π2)=cosα，先求出cosα，再由同角关系求出sinα.8.【答案】C【考点】空间向量的基本定理及其意义【解析】【解答】AD→=AD→=12(AB→+AC→)=12(OB→−OA→+OC→−OA→)=12OB→+12OC→−OA→故答案为:C.【分析】由若D为BC 的中点,根据空间向量的线性表示，选择向量OA、OB、OC为基底,表示出向量AD.9.【答案】A【考点】等差数列的性质【解析】【解答】不妨取{ a n } 为1,2,3,4…, { b n }为2.4.6.8,…则{ a n⋅ b n }为2,8,18,32,…明显不为等差数列. 故答案为:A.【分析】两个公差不为零的等差数列的和,差都会成为等差数列,但积就不能为等差数列了,用特殊例子可以说明.10.【答案】B【考点】绝对值不等式的解法【解析】【解答】当x<-1时,不等式为-2x+1+x+1<1,解得:x∈Φ;当−1≤x≤12时,不等式为-2x+1-x-1<1,解得:−13≤x≤12;当x>12时,不等式为2x-1-x-1<1,解得12≤x<3综上所述,不等式的解集为{x|−13≤x<3}故答案为:B.【分析】由绝对值内一次式的零点将x进行分类讨论,去掉绝对值,再解不等式得到解集.11.【答案】A【考点】函数的表示方法，函数奇偶性的判断【解析】【解答】由f(1)=-1,f(2)=0,f(3)=1得函数图象关于点(2,0)对称,f(x+2)是由f(x)向左平稳2个单位得到的,则f(x)的图象关于原点对称,故为奇函数.故答案为:A.【分析】由列表法表示的函数图象关于点(2,0)对称,进行向左平移2个单位后关于原点对称,则成为奇函数.12.【答案】B【考点】圆的一般方程，圆与圆的位置关系及其判定【解析】【解答】四个小正方形的的边长都为2,则其内切圆的半径为1,圆心就是四个象限的单位点坐标为(±1,±1),方程为(x±1)2+(y±1)2=1,化为一般式,只有B项正确.故答案为:B.【分析】大圆的圆心在原点,四个选项中的方程不是大圆的方程;四个小圆的半径都为1,圆心则在四个象限的单位点处,得到方程与选项对比得到正确选项为B.13.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由 a > 1a2得a>1,由a2>1a,得a<0或a>1,则“ a > 1a2”是a2>1a的充分不必要条件.故答案为:A.【分析】分别求出两不等式的解集,则小范围推出大范围,大范围推不出小范围得到充分不必要条件.14.【答案】B【考点】二倍角的正切公式，直线的倾斜角，斜率的计算公式【解析】【解答】设直线AB的倾斜角为α,则由A ( 0 , − 1 ) , B ( 2 , 0 )得:tanα=k AB=0+12−0=12,故tan2α=11−14=43,即直线AC的方程为:y=43x-1,令y=0得x=34,故答案为:B.【分析】由A,B两点的坐标结合斜率公式求出直线AB的斜率,由两倍角正切公式求出直线AC的斜率,由斜截式得到直线AC的方程,再求直线AC与x轴交点的横坐标a的值.15.【答案】B【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图【解析】【解答】甲几何体是棱长为2a的下方体去掉一个棱长为a的小正方体后的几何体,则其体积V甲=8a3−a3=7a3,表面积S甲=24a2;乙几何体是一个棱长为2a的正方体去掉一个底面为直角边为a的等腰直角三角形,高为a的三棱柱后的几何体,其体积V乙=8a3−12a3=152a3,表面积S乙=24a2−a2+√2a2=(23+√2)a2;则S甲> S乙, V甲< V乙.故答案为:B.【分析】分别由三视图还原出几何体的形状和数据,甲是一个棱长为2a 的正方体去掉一个棱长为a 的小正方体后的几何体,求出表面积和体积;乙是一个棱长为2a 的正方体去掉一个底面为直角边为a 的等腰直角 三角形,高为a 的三棱柱后的几何体,求出表面积和体积,再比较大小.16.【答案】 D【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】由A(a,0),B(0,b),F(c,0),P(c,-b 2a ), 得S ΔOA B =12ab ,S ΔOPF =cb 22a ,则12ab =52×cb 22a ,故2a 2=5cb , 即4a 4−25a 2c 2+25c 4=0,解得e=√55或2√55, 故答案为:D.【分析】由椭圆的方程求出点A,B,P 的坐标,得到 ΔOAB 和 ΔOPF 的面积,由面积的关系得到a,b,c 的齐次方程,转化为离心率的方程,求离心率.17.【答案】 C【考点】二次函数的性质，函数的零点【解析】【解答】当f(x)有一个零点时，Δ=1−8a =0，a =18 ， 则f(x)=2(x-14)2,即x=14是f(x)的零点。