三角函数最值的求法
三角函数最值的求法
摘要： 本文主要讨论三角函数的最值的求法，总结归纳出六种常用
的方法：上下界法、二次函数法、几何法、不等式法、判别法和用导数法。

关键词：三角函数；最值；求法。

三角函数是当今高考必考的内容之一，而三角函数的最值是函数最值的重要内容，同时也是三角函数的重要分支，故重视和加强这部分内容对于学习三角函数的恒等变换，求解最值，掌握三角函数最值与二次函数、二次方程及不等式性质的关系的应用有着重要的意义。

下面就求三角函数最值问题谈谈我的若干解决方法。

一． 上下界法。

根据1sin ≤x 或1cos ≤x 把给定的三角函数或通过适当的恒等变形化成k x A ++)sin(ϕω或k x A ++)cos(ϕω（其中
、k
、A 、ϕω均为常数）的形式，然后求出最大值和
最小值的方法称为上下界法。

例1：求函数x
x y 2sin cos 2
-=的最值。

分析：先把原函数变形，然后根据1cos ≤x 直接求
出最值。

解：x x
y 2sin 2
2cos 1-+= x x 2sin 2cos 2
1
21-+=
2
1)2cos(25++=
ϕx
将题目中的代数式转化为含有三角函数名的二次函数的形式，进而利用二次函数的知识来求解。

例3：求函数y=f(x)=cos 2
2x-3cos2x+1的最值.
解 ∵f(x)=(cos2x-2
3
)2
-4
5, ∴当cos2x=1,即x= k π(k ∈Z)时，1
min
-=y
， 当cos2x=-1,即x= k π+2
π( k ∈Z)时，5
max
=y .
小结：这里将函数f(x)看成关于cos2x 的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间[-1，1]上的最值问题.
三． 运用几何方法
通常我们在解决代数问题时可以把函数代表式转化为熟悉的几何问题来解决，这种方法称为几何法。

例4：求函数的()5cos 1
f θθ=
+的最值函数。

分析：函数()f θ的形式刚好可以看成是定点和动点的连线的斜率，利用图形我们可以一眼看出它的最值。

解：如图，原式变为()5cos (1)
f θθ=
--这表示定点
(1,2)
M --和动点5,sin )
P θθ的连线的斜率，而动点P
的轨迹方程为
2
215
x y +=它是一个椭圆，故()f θ的极值
即过点M 向椭圆所作的两切线的斜率。

设斜率为
k
，切点为1
1
(,)x y 则切线方程为1
1
15x x y y +=，因点M 在
切线上，故有1
1
121
5
x y
--=。

解方程组
111
215
x y --=
2
21115
x y +=
解得11152,7
7
x y
=-=-
或1
152,3
3
x y
==-
，
所以两切线的斜率为：
122222
31
73,155221173
k k -+-+==-==
-++
故max
min 13
()
,()22
f f θθ==-.
小结：注意在运用几何方法求极值时必须先把它化成表示定点到动点连线的斜率的形式。

四． 不等式法
)7
2,715(1--
Q )
2,1(--M )
3
2,35(2-Q 图
利用均值不等式来求最值。

设1
2
,,
,n
a a a 均为正数，
则他们的几何平均值不超过算术平均值，即
1212n
n
n a a a a a a n
++
≤
（当且仅当1
2n
a
a a ===时等号成
立）。

例5：若02
x π≤≤，求2
sin cos y x x =的最大值。

分析：函数表达式2
sin cos y x x =刚好符合原理的要
求，故用不等式法求最值较方便。

解：将函数变形为
2242221
sin cos 2sin cos cos 2y x x x x x
==⨯
02
x π
≤≤
2222
3312sin cos cos 124
()()232327x x x y ++∴≤=⨯=
43
279
y ∴≤
=
故当且仅当2
22sin
cos x x
=即6
arccos
3
x =时，函数
2sin cos y x x
=有最值，且为max
239
y
=。

小结：利用不等式求三角函数最值是一条有效的途径，相较其它方法比较容易掌握，但必须注意各项必须为正值。

五． 用判别法
定义：如果三角函数具有y=
2111
2222
A x
B x
C A x B x C ++++的形式，
那么可将其变为一个关于x 的二次方程，然后利用二次方程根的判别式讨论取实数的条件。

列一个含y 的二次不等式，解此不等式即可得到原三角函数的最值。

例6．求函数y=5-4sin θ+2
sin θ的最值。

分析：把原函数化为关于sin θ的二次函数，利用根的判别式法进行讨论，最终得出结果。

解：原函数可变形为：2
sin 4sin (5)0y θθ-+-= R ∈θsin 164(5)0y ∴∆=--≥
解得1y ≥ min
1
y ∴=
又
sin 21
y θ=- 且sin 1θ≤
211
y ∴±-≤
解得101≤≤y 10
max
=∴y
小结：用此法求最值的关键是将函数变形成二次方程的形式，再把问题转化为不等式的解。

六． 用导数法
利用导数求函数)(x f y =在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数)(x f y =在),(b a 内的极值；
（2）将函数)(x f y =的各极值与端点处的函数值
)
(),(b f a f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的
一个是最小值。

例7．求函数4
431)(3
+-=x x
x f 在[]3,0上的最大值与最小
值。

解：4
43
1)(3
+-=x x
x f (
'f ∴x)=)
2)(2(42
-+=-x x x
令
)('=x f 得2=x 或2-=x
又因为[]3,0∈x ，所以2=x 下面分两种情况讨论：
（１） 当[]2,0∈x 时，,0)('<x f 此时)(x f 在此区间上单调
递减；
（２） 当[]3,2∈x 时，,0)('>x f 此时)(x f 在此区间上单调
递增。

因此，当2=x 时，)(x f 有极小值，并且极小值为
43
)2(-=f 又由于1)3(,4)0(==f f 因此，函数4
431)(3
+-=x x
x f 在[]3,0上的最大值是４，
最小值是4
3-。

小结：在利用导数求函数的最值时，要注意极值与最值的区别与联系。

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质，且极大值与极小值可以同时存在着若干个或
不存在，极大值不一定比极小值大。

而最值是个整体概念，是整个定义域上的最大值与最小值，从个数上看，最值是唯一的。

所以在做这类题时，必须先求出极大（小）值，然后再与端点处的函数值进行比较，得到函数在整个定义域内的最大（小）值。

以上列举了常用的六种求三角函数的最值的方法，具体题型应用哪种方法来解决就必须依据解题者自己的灵活运用。

如能正确运用这六种方法，不但能提高解题者的解题速度，而且对培养其解题思维能力有着重要的意义。

参考文献：
人民教育出版社、课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心编著，数学（必修2、必修4、必修5及选修1-1），人民教育出版社，（A版）。