高中三角函数最值问题的一些求法关于()f x ωϕ+型三角函数式的最值，可以由三角函数的性质直接求出，如sin(),11y x y y ωϕ=+==-最大最小，； cos(),11y x y y ωϕ=+==-最大最小，；tan y x =与cot y x =在定义域内无最值。
一、直接应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题例1：求函数y ＝xx x x x x x x cot |cot ||tan |tan cos |cos ||sin |sin +++的最值 分析：解决本题时要注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。
解： （1）当x 在第一象限时，有sin cos tan cot 4sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++= （2）当x 在第二象限时，有sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=----（3）当x 在第三象限时，有sin cos tan cot 0sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=--（4）当x 在第四象限时，sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x=+++=----综上可得此函数的最大值为4，最小值为-2.二、直接应用三角函数的有界性（sin 1,cos 1x x ≤≤）解题例1：（2003北京春季高考试题）设M 和m 分别表示函数cos 13x -1y=的最大值和最小值，则M m+等于（ ）（A ）32（B ）32-（C ） 34-（D ）-2 解析：由于cos y x =的最大值与最小值分别为1,-1,所以,函数cos 13x -1y=的最大值与最小值分别为32-,34-,即M m +＝32-+（34-）=-2,选D. 例2：求3sin 1sin 2x y x +=+的最值（值域）分析：此式是关于sin x 的函数式，通过对式子变形使出现12sin 3yx y -=-的形式，再根据sin 1x ≤来求解。
解：3sin 1sin 2x y x +=+，即有sin 23sin 1sin 3sin 12y x y x y x x y +=+⇒-=-12(3)sin 12sin 3yy x y x y --=-⇒=-。
因为sin 1x ≤， 所以()()222121212111333y yy y y y -⎛⎫--≤⇒≤⇒≤ ⎪---⎝⎭即()()()()22212332802340y y y y y y -≤-⇒+-≤⇒+-≤即423y -≤≤，所以原函数的最大值是43，最小值是2-。
三、利用数形结合例：求cos 2sin 2x y x -=-的最大值与最小值x解析：此题除了利用三角函数的有界性求解外，还可根据函数式的特点，联想到斜率公式2121y y k x x -=-将原式中的y 看作是定点(,)P x y 与动点(sin ,cos )M x x 连线的斜率，而动点(sin ,cos )M x x 满足单位圆22sin cos 1x x +=，如上图所示。
所以问题可转化为求定点(2,2)P 到单位圆相切时取得的最值，由点到直线的距离得：miny =max y = 四、利用三角函数的单调性法例1：(1996全国高考试题)当x ππ-≤≤22，函数()sin f x x x =的最值(A)最大值是1，最小值是－1 (B)最大值是1，最小值是12-(C)最大值是2，最小值是－2 (D)最大值是2，最小值是－1()sin 2sin()3f x x x x π==+，因为x ππ-≤≤22，所以53x πππ-≤+≤66，当x π=-6时，函数()f x 有最小值 －1,最大值2，选择D例2：求sin sin sin x x y x（1+)(3+)=2+的最值及对应x 的集合分析：观察式子可知它并不能直接求出，须通过变形为1sin 2)sin 2x x =+-+y （，但也不符合用平均不等式求，考虑用单调性。
解答：sin sin 1sin 2)sin sin 2x x y x x x =+-+（1+)(3+)=（2+令sin 2x t +=，则1()y f t t t ==-，且13t ≤≤，设12121<3,()()t t f t f t ≤≤-=121211()()t t t t ---=1212121()()<0t t t t t t +-[]()(1,3)f t t ∴∈上单调递增，所以 当1t =时， min ()0f t =，此时sin 1x =-，,2,.2x x x k k z ππ⎧⎫∈=-∈⎨⎬⎩⎭当3t =时，8()max 3f t =，此时sin 1x =，,2,2x x x k k z ππ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭五、可化为一次函数y kx b =+，c x d ≤≤的条件极值的三角函数式极值求法例1：求函数sin y a b x =+ (0)b ≠的极值分析：由sin 1x ≤，上述问题实质上是求下述一次函数的条件极值问题，即求sin y a b x =+,11x -≤≤，其中sin x x =,这里约束条件是由正弦函数的值域暗中给出的。
解： 1）当0b >时, ,y a b y a b =+=-最大最小； 2）当0b <时, ,y a b y a b =-=+最大最小；说例2：求函数22sin sin cos cos y a x b x x c x =++的最值，其中0,0b c ≠≠。
分析：在这里不能将它变形为关于sin x 或cos x 为未知数的二次式，所于只有考虑将它降为一次，此时根据正弦、余弦的二倍角公式即21cos 2sin 2x x -=，21cos 2cos 2x x +=，1sin cos sin 22x x x =，然后代入化简得到sin(),11y x y y ωϕ=+==-最大最小，即可求出。
解：因为1cos 21cos 2sin 2222x b x y a x c -+=⋅+⋅+⋅[]1sin 2()cos 222a cb xc a x +=++-sin(2),2a c x ϕ+=++其中arctan c a b ϕ-= ，且sin(2)1x ϕ+≤，,22a c y +∴=+最大22a c y +=-最小在这里22sin sin cos cos y a x b x x c x =++sin 2cos 2y A x B x −−−−→=+降次、整理六、可化为二次函数2(0)y ax bx c a c x d =++≠≤≤且的条件极值的三角函数式的最值求法。
例1：求函数22sin 8sin 5y x x =+-最值分析：因为222sin 8sin 52(sin 2)13,sin 1,y x x x x =+-=+-≤故求y 的最值，实质上是求以sin x 为自变量的二次函数。
可以用配方或数形结合求解。
即当设sin x =X 时，变为22(2)13y X =+-在约束条件11X -≤≤的条件极值。
解：因为22(sin 2)13,sin 1,y x x =+-≤ 当2sin 23135,x y =⨯-=最大=1时, 当2sin 211311.x y =⨯-=-最小=-1时,。
七、换元法sin cos ,sin cos x x x x ±（同时出现换元型）例1:函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是______.(1990年全国高考题)解析： 如果在同一个代数式中同时出现同角的正余弦函数的和与正余弦函数的积,常用换元法来解决问题, 这种方法可简化计算过程。
设sin cos x x +＝t ,则t ＝sin cos )4x x x π+=+,∴t ≤≤21sin cos 2t x x -=函数sin cos sin cos y x x x x =++可化为221(1)122t t y t -+=+=-，∴t =12+ 说明：题目中出现sin cos x x +与sin cos x x 时，常用变形是“设和求积巧代换”，即设sin cos x x +＝t 则sin cos x x ＝212t -。
要特别注意换元后t 的取值范围。
例2： 求函数sin sin cos cos y x x x x =+-的最值。
解：设sin cos )(4t x x x t π=-=-≤≤则 21sin cos 2t x x -=于是 21122y t t =-++。
故当t =sin()14x π-=-时， min 12y =-当1t =时，即sin()42x π-=时， max 1y =八、可化为分式函数的条件最值的三角函数的最值问题例1：求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最值。
分析：由22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++，令tan X x =，则归为求221,1X X y X X -+=++（且x -∞<<+∞）的最值，故可用判别式法求之。
x解：由22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++，22tan tan tan tan 1y x y x y x x ∴⋅+⋅+=-+2(1)tan (1)tan (1)0.y x y x y -+++-= 因为这个一元二次方程总有实数根， 2221)4(1)(3103)y y y y ∴∆=+--=--+（ (3)(31)0.y y =---≥11.33y ∴-≤≤ 13,.3y y ∴==最大最小例2：（sin cos a x cyb x d+=+型的函数）求函数2sin x y x =+的最值（值域）。
分析：此函数的解析式与上例不同，分式中的分子含有cos x 的一次式，而分母是含有sin x 的一次式，不能直接解出cos x 或sin x ，通常是化作sin()()x f x ωϕ+=求解。
解法一：由y =得sin 2,yx x y =-)2x y ϕ+=- （ϕ为辅助角）sin()x ϕ∴+=因为1sin()1x ϕ-≤+≤得11,∴-≤≤由此解得11y -≤≤∴函数的值域为[]1,1-说明：对此类问题可通过万能公式代换求解，还可通过几何方法（数形结合）求解，现介绍如下。
解法二：令 tan 2x t =，则22sin 1tx t =+，221cos 1tx t -=+)y t R ∴=∈即y t yt y 2(2+2+(2若y 2 即2y =-则t =-2满足条件若y≠20,即2y ≠，则由y y y ∆≥2=4-4(20 ，有2y y ≤≤≠-11( ∴函数的值域为[]1,1- 解法三：由y =，cos 0sin (2)x x -=--，设点 (sin ,cos )P x x ，(2,0)Q -，动点P 与Q 连线的斜率。