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3.6 用柯氏加速度解释 河岸冲刷 用柯氏加速度解释:
现象: 现象 南北方向的河流两岸冲刷 的程度不一样. 的程度不一样
对北半球向北的河流, 东岸被冲刷 对北半球向北的河流 得更厉害. 得更厉害 该现象可以通过苛氏 (Coriolis) 加 速度得到解释. 速度得到解释
Z z1
z z'
O
对转子相对内框架绕转子轴转 γ 角
x' cos γ y ' = − sin γ z' 0
sin γ cos γ 0
0 x 0 y 1 z
X x x'
x1
Y y 1 y y'
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~ dB d B = +ω× B dt dt
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3.4 加速度合成定理
~ dR 速度: 速度 V= +ω × R dt 加速度： 加速度： ~ ~ ~ ~ dR dV d V d dR A= = + ω ×V = +ω × R +ω × +ω × R dt dt dt dt dt ~2 ~ ~ d R dω dR = 2 + × R + ω × (ω × R) + 2ω × dt dt dt
cosβ cosγ sinα sin β cosγ + cosα sinγ sinα sinγ − cosα sin β cosγ X = − cosβ sinγ cosα cosγ − sinα sin β sinγ cosα sin β sinγ + cosγ sinα Y sin β Z − sinα cosβ cosα cosβ
o
z
b
y
a
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4
1.3*关于地球 重力 关于地球: 关于地球
重力 (gravity) W 为万有引力 j 和地球自转引起的离心 (centrifugal) 力 F 之和： 之和： ωe
W = j+F
因为 F 远远小于 W，∆θ 最多只 ， 有几个角分 g -- 取决于纬度和高度（将地球视 取决于纬度和高度（ 为椭球体） 为椭球体）.
都是小角度， 如果 α,β,γ 都是小角度， 则有近似： 则有近似：
x' 1 y ' = − γ z' β
γ
1 −α
− β X α Y 1 Z
16
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x1 = X y1 = Y cos α + Z sin α z1 = −Y sin α + Z cos α
或
z1
α
Z
Z cos α
y1
0 x1 1 y = 0 cos α 1 z1 0 − sin α
0 X sin α Y cos α Z
目前常用的几种参考椭球体: 目前常用的几种参考椭球体 Clarke Krasovski 国际椭球体 全球大地系 WGS a -- major axis b -- minor axis 扁率(oblateness) =（a - b）/ a 扁率 （ ） 曲率半径 (curvature radius -- 和纬度有关) 和纬度有关
X x’ y’ z’ Y Z
O
Y X x'
y'
C11 C21 C31
C12 C22 C32
C13 C23 C33
坐标系分步旋转的方法可以方便方向余弦矩阵的计算 。
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2.5 坐标系 顺序旋转 坐标系:
旋转顺序: 旋转顺序 外框架 相对基座转过 α角 角 内框架相对外框架 转过 β 角 转子相对内框架转过γ 转子相对内框架转过 角
方向余弦阵 (Direction cosine matrix)
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2.4 坐标系 以框架陀螺为例 坐标系:
Z z'
转子相对于基座的转动 转子(Rotor)坐标系 ox’y’z’ 坐标系 转子 基座(Base) 坐标系 OXYZ 基座 方向余弦矩阵 (Directional Cosine Matrix – DCM):
R
j
∆θ
W
P
F
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1.4 关于地球 垂线和纬度 关于地球:
纬度： 纬度：当地垂线和地球赤道平面之间的夹角 垂线的定义 地心垂线 -- 从地心到当地表面点的 连线 测地 (geodetic) 垂线 -- 当地椭球表 面的法线 沿着当地重力方向（ 重力垂线 -- 沿着当地重力方向（天 文垂线 ） 和垂线的三种定义相对应， 和垂线的三种定义相对应，纬度也有三种定义
O
Z z1
z z'
引入内框架坐标系 xyz 和外框架 坐标系 x1y1z1 .
X x x'
x1
Y y 1
y y'
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2.6 坐标系 第一次旋转 坐标系:
外框架相对基座, 绕外框架轴转过α 外框架相对基座 绕外框架轴转过 角 假设一个向量 R 在两个坐标系中的投影分别是 (X, Y, Z) 和 (x1, y1, z1) , 则利用投影关系 则利用投影关系:
P
φ ' φa φ
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6
1.5*关于地球 运动 关于地球: 关于地球
地球相对惯性空间的运动包括各种成分，最主要的有： 地球相对惯性空间的运动包括各种成分，最主要的有：
逐日自转 绕太阳的公转 地球自转角速度: 地球自转角速度 -- 相对惯性空间的 -- 相对太阳的
ω
Z
M
V
~ dR d R V= = +ω × R dt dt
牵连(transport) 速度 绝对速度 = 相对速度 + 牵连
R
O X
Y
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3.3 推广 苛氏定律 推广:
~ dR V= +ω × R dt
苛氏定律 (Coriolis Theorem)：对任何和运动有关的矢量 B ： ： 它的绝对变化率 = 相对变化率 对动坐标系) 相对变化率(对动坐标系 对动坐标系 + 牵连变化率 由动坐标系转 牵连变化率(由动坐标系转 动引起的) 动引起的
几乎所有导航问题都和地球相关. 几乎所有导航问题都和地球相关
地球表面是不规则的. 地球表面是不规则的 对地球形状的最粗糙近似 -- 球形
更精确的近似： 更精确的近似：参考椭球体 (reference ellipsoid)
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3
1.2 关于地球 参考椭球体 关于地球:
x' V ' = y ' z '
则
x' cos α 1 y ' = cos β 1 z ' cos γ 1
cos α 2 cos β 2 cos γ 2
cos α 3 x y cos β 3 cos γ 3 z
15
2.8 坐标系 转动变换的合成 坐标系:
将上述结果合并， 将上述结果合并，得到从基座到转子的变换矩阵 :
x' cos γ y ' = − sin γ z ' 0 sin γ cos γ 0 0 cos β 0 0 1 sin β 0 − sin β 1 0 1 0 0 cos α 0 cos β 0 − sin α 0 X sin α Y cos α Z
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
7
Outline
关于地球 相关的坐标系和坐标变换 柯氏定律和Leabharlann 氏加速度 动量矩定理 欧拉动力学方程
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2.1 坐标系 惯性系 坐标系:
Solar-centered Inertial frame (SCI 日心惯性系 日心惯性系) Earth-centered inertial frame (ECI 地心惯性系) 地心惯性系)
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Outline
关于地球 相关的坐标系和坐标变换 柯氏定律和柯氏加速度 动量矩定理 欧拉动力学方程
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3.1*转动引起的牵连速度 转动引起的牵连速度
转动， 假设某刚体绕着固定点 O 以角速度 ω 转动， M 是刚体内的一点（相对刚体固定） 是刚体内的一点（相对刚体固定） M 的牵连 的牵连(transport) 速度为 速度为: v v v i j k V = ω × R = ωx ωy ωz (布桑公式 布桑公式) 布桑公式 x y z v r v = (ω y z − ω z y )i + (ω z x − ω x z ) j + (ω x y − ω y x)k 坐标系可以任意选取