1、均匀带电细线ABCD 弯成如图所示的形状，其线电荷密度为λ，试求圆心O 处的电势。

解：两段直线的电势为 2ln 421πελ=V 半圆的电势为 ππελ24=V ， O 点电势)2ln 2(40ππελ+=V 2、有一半径为 a 的半圆环，左半截均匀带有负电荷，电荷线密度为-λ，右半截均匀带有正电荷，电线密度为λ ，如图。

试求：环心处 O 点的电场强度。

解：如图，在半圆周上取电荷元dq aadE dE E E a dqdE ad dl dq x x 020202d cos 212cos 41πελθθλπεθπεθλλπ-=-=-======⎰⎰⎰由对称性3、一锥顶角为θ的圆台，上下底面半径分别为R 1和R 2，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为σ，求顶点O 的电势。

（以无穷远处为电势零点）解：:以顶点O 作坐标原点,圆锥轴线为X 轴向下为正. 在任意位置x 处取高度为d x 的小圆环, 其面积为xdxdx r dS θθπθπcos tan 2cos 2==其上电量为xdxtg dS dq θθπσσcos 2==它在O 点产生的电势为2204x r dqdU +=πε022202tan tan 4cos tan 2εθσθπεθθπσdx x x xdx=+=总电势 ⎰⎰-===01202)(tan 221εσθεσR R dx dU U x xA BCDO4、已知一带电细杆，杆长为l ，其线电荷密度为λ = cx，其中c 为常数。

试求距杆右端距离为a 的P 点电势。

解：考虑杆上坐标为x 的一小块d xd x 在P 点产生的电势为x a l xdxc x a l dx dU -+=-+=00441πελπε 求上式的积分,得P 点上的电势为])ln()[(44000l a a l a l c x a l xdx c U l -++=-+=⎰πεπε5、有一半径为 a 的非均匀带电的半球面，电荷面密度为σ = σ0cos θ，σ0为恒量 。

试求：球心处 O 点的电势。

解：6、有一半径为 a 的非均匀带电的半圆环，电荷线密度为λ =λ0 cos θ，λ0为恒量 。

试求：圆心处 O 点的电势。

解：7、有宽度为a 的直长均匀带电薄板，沿长度方向单位长度的带电量为λ ， 试求：与板的边缘距离为b 的一点P 处的电场强度 (已知电荷线密度为λ的无限长直线的电场强度为rE 02πελ=)。

O020********sin cos 4sin 24sin 2sin 2εσεθθθσπεθθπσπεθθπσσθθπππR d R R Rd R dU U R dq dU Rd R ds dq Rd R ds =⋅⋅=⋅⋅===⋅⋅==⋅⋅=⎰⎰⎰圆环的电势　上取一圆环，y⎰⎰======-002200024cos 4πελπεθθλθλλπεππd dU U ad dl dq ，a dqdU dq ，在半圆上取电荷元P·解：8、有一瓦楞状直长均匀带电薄板，面电荷密度为σ，瓦楞的圆半径为 a ，试求：轴线中部一点P 处的电场强度。

(已知电荷线密度为λ的无限长直线的电场强度为rE 02πελ=)解：9、电荷以相同的面密度σ分布在半径分别为R 1 =10 cm 和R 2 = 20 cm 两个同心球面上。

设无限远处电势为零，球心处的电势为V 0 = 300 V 。

（1）求电荷面密度σ；（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上的电荷面密度σ’应为多少？（ εo = 8.85×10-12 C 2N -1m -2）b b a a x b a dx a dE E x b a dx a dE dx a dx ，a +=-+==-+=⎰⎰ln 2)(2)(20000πελπελπελλ度整个带电薄板的电场强公式，有由无限长带电直线电场电荷线密度为视为无限长带电直线，的窄条为研究对象，取宽为如图O000000 sin 2sin 0 cos 2cos 2πεσθπεθσθθπεθσθπεθσθσσλππ-=-=-==-=-=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰d dE dE E d dE dE E d dE ad dl dl y y x x＝为带电直线，电荷线密度限长的窄条为对象，视为无如图，顶视图，取宽为解：（1）11104R q U πε=22204R q U πε=)(4421221120100R R R q R q U U U +=+=+=εσπεπε29210/1085.8)(m c R R U -⨯=+=εσ （2） 010、如图，长直圆柱面半径 为R ，单位长度带电为λ，试用高斯定理计算圆柱面内外的电场强度。

解：0ε∑⎰=⋅iq s d E0=∴E(R r ≤≤0 )rE πελ2=(∞≤≤r R ) 11、电荷Q 均匀分布在长为l 的细杆AB 上，P 点位于AB 的延长线上，且与B 相距为d ，求P 点的电场强度。

解：12、电荷Q 均匀分布在长为l 的细杆AB 上，P 点位于AB 的延长线上，且与B 相距为d ，求P 点的电势。

解：13、电荷Q 均匀分布在半径为R 的半圆周上，求曲率中心O 处的电场强度。

解：如图，在圆周上取电荷元dqABP⎰+-===)11(444122l d d l Q x dx E x dxdE πεπελλπε ABPdx lQ q =d x dqU 04d πε=⎰++==l d d d l d l Q x dq U ln 4400πεπε202222020202 cos 41cos 41cos 041 R Q d R Q RdqdE dE E E E R dqdE d Q Rd R Q dl dq x x y επθθππεθπεθπεθπθπλππ＝＝由对称性，⎰⎰⎰⎰-=========14、用细的绝缘棒弯成半径为R 的圆弧,该圆弧对圆心所张的角为2α ，总电荷q 沿棒均匀分布,求圆心处的电场强度。

解：如图，在圆弧上取电荷元dqααπεθθαπεθπεθπεθαθαλααsin 4 cos 241cos 41cos 041 2220202020R qd R q R dqdE dE E E E R dqdE d q Rd R q dl dq x x y ＝＝由对称性，⎰⎰⎰⎰-=========15、求均匀带电圆环轴线上任一点P 处的电场强度（圆环半径为R ，带电量为Q ） 解：1、一平板电容器的电容为1×10-11F ，充电到带电荷为1.0×10-8C 后，断开电源，求极板间的电压及电场能量。

RxEdOQyθ OααROααRxyEdθ 2/322022220220)(41410 41x R Qx x R x x R dq dE E E E d x R dqdE dq x x +=++===∴=+=⎰⎰⎰⊥πεπεπε由对称性知，，，则在圆环上任取电荷元解：U =Q/C =1000V W=Q 2/2C = 5.0×10-6J2、点电荷带电q ，位于一个内外半径分别为R 1、R 2的金属球壳的球心，如图， P 为金属球壳内的一点，求：（1）金属球壳内表面和外表面的感应电荷；（2）P 点的电场强度大小和P 点的电势。

解：（1）内表面感应电荷 -q ，外表面感应电荷 q（2）E =0 024q V R πε=3、圆柱形电容器，长度为L ，半径分别为R 1和R 2，二柱面间充满相对介电常数为εr 的均匀介质。

设电容器充电后，两极板单位长度上带电量分别为+λ和-λ，求：（1） 两极板间的电场强度； （2） 圆柱形电容器的电容； （3） 它储有的电能。

解：4、如图，半径为R 0的金属球，带电Q ，球外有一层均匀电介质的同心球壳，其内外半径分别为R 1和 R 2，相对介电常数为εr ，P 为介质中的一点，离球心为r 。

（1） 试用高斯定理求P 点的电场强度 E；（2） 由E求P 点的电势V 。

20102122210(1)1 2(2) ln 22ln ln (3)24r r r r E r R V Edr R L QC R V R R L R Q We C λπεελπεεπεελπεε=∆==∴==∆==⎰由高斯定理，柱形电容器极板间电场强度为极板间电势差，解： 5、金属球半径为R 1，带电q 1 ，外有一同心金属球壳，半径分别为R 2 、R 3 ， 金属球壳带电q 2 ，求金属球和球壳之间一点P 的电势。

解：6、如图所示，平板电容器（极板面积为S ，间距为d ）中间有两层厚度各为d 1和d 2、电 容率各为ε1和ε2的电解质， 试计算其电容。

解：S DS S d D S d D S d D S d D Sσ=⋅+⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰＝側下上202020202020202214)11(444 4 4 )2(4 4 4)1(2222R Q R r Q dr r Q dr r QEdr dr E U P r Q E r Q E r QD E P r QD Q r D r r R rR r R rR r r πεεπεπεεπεπεεπεεπεεππ+-+=+'=∴=='==∴=∴=⋅⎰⎰⎰⎰∞∞＝势点的电真空中介质中由以上结论方向径向向外点的电场强度大小的球形高斯面由高斯定理，作半径为(41,32312110211R q R q R q r q U P q q q++-=+-πε点的电势利用迭加原理，外表面带电面带电由静电感应，球壳内表11221212211b a 2211V V ,εεεεσεσεσεσεσσd d S V V s C d d E E D b a +=-=+-==＝，＝，7、如图球形电容器，内外半径分别为R 1和R 2，二球面间充满相对介电常 数为εr 的均匀介质，当该电容器充电量为Q 时，求：（1）介质内E D,的大小；（2）内 外球壳之间的电势差ΔU ；（3）球形电容器的电容C ；（4）它储有的电能W e 。

解：8、圆柱形电容器，长度为L ，半径分别为R 1和R 2，二柱面间充满相对介电常数为εr 的均匀介质 ，当该电容器充电量为Q 时，求： （1）圆柱形电容器的电容； （2）它储有的电能。

解： 1、（1）如图2101222122102102020228)(2e )4(4)3(11(44)2(4 4 4)1(2121R R R R Q C Q W R R R R U Q C R R Q dr r Q Edr U r Q D E r Q D Q r D r r r r R R rR R r επεεπεεπεεπεεπεεππ-==-=∆=-===∆===∴=⋅⎰⎰的球形高斯面由高斯定理，作半径为LR R Q C Q We R R L U Q C R R L Q Edr U rL Q rE r r r r r 01222120120004ln2)2(ln 2ln 21 2121)1(επεεπεεπεεπελεπε====∴====⎰极板间电势差器极板间电场强度为由高斯定理，柱形电容一，试写出通过闭合曲面S 的电位移矢量D 通量的高斯定理。