.运动的描述计算题1、一质点沿X 轴运动，其加速度a=-kv 2，式中k 为常数。

设t=0时，x=0，v=v 0，求该质点的运动方程。

2、一质点作直线运动，加速度为a=2+4t(SI),零时刻时x 0=5m ，v 0=6m/s ，求t=3s 时的速度和位置。

3、一质点沿X 轴运动，坐标与时间的关系为x 0=9+4t-2t 2（SI ），则在最初2s 内的平均速度为多少？2s 末的瞬时速度为多少？加速度为多少？（此题与第4题相似，习题集上角度为45°） 4、以初速度0v ＝201s m -⋅抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60°的夹角，求：(1)球轨道最高点的曲率半径1R ；(2)落地处的曲率半径2R ． (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)解：设小球所作抛物线轨道如题1-4图所示．题1-4图(1)在最高点，o 0160cos v v v x == 21s m 10-⋅==g a n又∵1211ρva n =∴m1010)60cos 20(22111=︒⨯==n a v ρ(2)在落地点，2002==v v 1s m -⋅,而o60cos 2⨯=g a n∴ m8060cos 10)20(22222=︒⨯==n a v ρ8、质量为m 的质点沿x 方向作直线运动，受到阻力F=-k v 2（k 做常数）作用，t=0时质点位于原点，速度为v 0，求（1）t 时刻的速度；（2）求v 作为x 函数的表达式。

10、转动着的飞轮的转动惯量为J ，t=0时角位移为0，角速度为o ω，此后飞轮经制动过程，角加速度与角速度平方成正比，比例系数为k （k 为大于零的常数），（1）求当达到 时，飞轮的制动经历多少时间（2）角位移作为时间的函数。

1-11（教科书上有类似的题目，页数P7，例1.1） 1-12（教课书上原题，页数P15）运动定律与力学中的守恒定律、计算题1. 静水中停着两条质量均为M 的小船，当第一条船中的一个质量为m 的人以水平速度（相对于河岸）跳上第二条船后，两船运动的速度各多大？（忽略水对船的阻力）．解：以人与第一条船为系统，因水平方向合外力为零．所以水平方向动量守恒， 则有 Mv 1 +mv =0 v 1 = νMm-再以人与第二条船为系统，因水平方向合外力为零．所以水平方向动量守恒，则有 mv = (m+M )v 2 v 2 =2、一质量为m 的质点在xOy平面上运动，其位置矢量为j t b i t a rωωsin cos +=求质点的动量及t ＝0 到ωπ2=t解: 质点的动量为)cos sin (j t b i t a m v m pωωω+-==将0=t 和ωπ2=t 分别代入上式，得j b m pω=1,i a m p ω-=2,则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为 )(12j b i a m p p p I+-=-=∆=ω3、一小船质量为100 kg ，船头到船尾共长3.6m 。

现有质量为50 kg 的人从船尾走到船头时，船头将移动多少距离？水的阻力不考虑。

解：由动量守恒 0=-人人船船v m V M又dtVS t⎰=0船船，船人船船人船人人S m M dt V m M dt v s tt ===⎰⎰0，如图，船的长度L S s =+人船所以 3.61.21001150L S m M m ===++船船人即船头相对岸边移动m S 2.1=船4.一质量为m 的球从质量为M 的四分之一的圆弧形槽顶端静止下滑，圆弧槽轨道半径为R ，如图，忽略各种摩擦，求小球m 滑到底离开弧形槽时的速度。

νmM m+题2-4图2-4 m 从M 上下滑的过程中，机械能守恒，以m ，M 地球为系统 ，以最低点为重力势能零点，则有mgR=222121MV mv + 又下滑过程，动量守恒，以m,M 为系统则在m 脱离M 瞬间，水平方向有mv-MV=0联立，以上两式，得 v=()M m MgR+25.为教科书上原题，页数P38，例2.75.质量为M 的木块具有四分之一的圆弧形槽(半径为R)，如图2.6，质量为m 的球从其顶端自由滑下，忽略各种摩擦，求球离开木块时的速度。

2201122MV mu mgR MV mu -=⎧⎪⎨=+⎪⎩u ∴=6、如图2.7所示，A 、B 两木块，质量各为mA 与mB ,由弹簧连接，开始静止于水平光滑的桌面上，现将两木块拉开（弹簧被拉长），然后由静止释放，求两木块的动能之比。

动量守恒定律7.为教科书上原题，页数P37，例2.58、质量为m 的小球沿半球形碗的光滑的内面以角速度ω在一水平面内作匀速圆周运动，碗的半径为R ，求该小球作匀速圆周运动的水平面离碗底的高度。

AB图2.7图2.69、一质量为45Kg 的物体，由地面以初速度60m/s ，竖直向上发射，空气的阻力为F=-kv ，其中k=0.03，力F 的单位是N ，速率v 的单位是m/s 。

求物体发射到最大高度所需的时间。

题2-10图10. 平板中央开一小孔，质量为m 的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为1M 的重物．小球作匀速圆周运动，当半径为0r 时重物达到平衡．今在1M 的下方再挂一质量为2M 的物体，如题2-24图．试问这时小球作匀速圆周运动的角速度ω'和半径r '为多少? 解: 在只挂重物时1M ，小球作圆周运动的向心力为g M 1，即201ωmr g M =①挂上2M 后，则有221)(ω''=+r m g M M②重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒． 即 v m r mv r ''=00ωω''=⇒2020r r ③联立①、②、③得211213212101010)(r M M M g m M M r M M M m r g M m r g M ⋅+='+='+='=ωωω11．为教科书上原题，页数P56，例2.163.刚体力学2、 （第2题与该题类似）飞轮的质量m ＝60kg ，半径R ＝0.25m ，绕其水平中心轴O 转动，转速为900rev ·min -1．现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力F ，可使飞轮减速．已知闸杆的尺寸如题2-25图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数μ=0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算．试求：(1)设F ＝100 N ，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转? (2)如果在2s 内飞轮转速减少一半，需加多大的力F ?解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b))．图中N 、N '是正压力，r F 、r F '是摩擦力，x F 和y F 是杆在A 点转轴处所受支承力，R 是轮的重力，P 是轮在O 轴处所受支承力．题2-25图（a ）题2-25图(b)杆处于静止状态，所以对A 点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有F l l l N l N l l F 1211210)(+='='-+对飞轮，按转动定律有I R F r /-=β，式中负号表示β与角速度ω方向相反． ∵ N F r μ= N N '=∴F l l l N F r 121+='=μμ又∵,212mR I =∴ F mRl l l I R F r 121)(2+-=-=μβ ①以N 100=F 等代入上式，得2s rad 34010050.025.060)75.050.0(40.02-⋅-=⨯⨯⨯+⨯⨯-=β由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为s 06.74060329000=⨯⨯⨯=-=πβωt这段时间内飞轮的角位移为rad 21.53)49(340214960290021220ππππβωφ⨯=⨯⨯-⨯⨯=+=t t可知在这段时间里，飞轮转了1.53转．(2)10s rad 602900-⋅⨯=πω，要求飞轮转速在2=t s 内减少一半，可知200s rad 21522-⋅-=-=-=πωωωβt t用上面式(1)所示的关系，可求出所需的制动力为N l l mRl F 1772)75.050.0(40.021550.025.060)(2211=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+-=πμβ4、转动着的飞轮的转动惯量为I ，在t=0时角速度为o ω，此后飞轮经制动过程，阻力矩可写成M=－K 2ω (K 为大于零的常数)，当13oωω=时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到现在经历的时间是多少？5．图2.8所示，质量为m ，长为的均匀细棒，可绕过其一端的水平轴o 转动，现将棒拉至水平位置(OA`)后放手，棒下摆到竖直位置时，与静止放置在水平面A 处的质量为M 的物块作完全弹性碰撞，使物体在水平面上滑动，若物体与水平面之间的摩擦系数为μ，试问M 能滑多远？(213I m =).图2.82222'21261133102l mg ml ml ml lMv Mgs Mv ωωωμ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪-=-⎪⎩26(3)m ls m M v=+题3-6图6. 如题3-6图所示，一匀质细杆质量为m ，长为l ，可绕过一端O 的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下．求： (1)初始时刻的角加速度； (2)杆转过θ角时的角速度. 解: (1)由转动定律，有β)31(212ml mg=∴l g 23=β (2)由机械能守恒定律，有22)31(21sin 2ωθml l mg=∴ l g θωsin 3=7、如图3-7，滑轮的转动惯量和半径分别为I 、R ，弹簧的劲度系数为K ，重物的质量为m ，当滑轮——重物系统从静止开始启动，开始弹簧无伸长，且摩擦忽略，则（1）物体能沿斜面下滑多远？（2）当物体沿斜面下滑距离s 时（在弹性限度内）的速度是多大？如图所示，物体的质量为m ，放在光滑的斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，弹簧的劲度系数为K ，滑轮的转动惯量为I ，半径为R 。

先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求其周期。

①设弹簧伸长 后受力平衡为沿斜面x 轴原点且 k mg =θsin (2分) ②m 在任意x 处，由牛二，转动定律及受弹力T2可列方程：ββθR a x k T I R T R T ma T mg =+==-=-及)(sin 2211(4分)图3-7③0222=++x R Im k dt x d 得证 (2分) ④k R Im T 222+==πωπ8、如图3-8，质量M=16kg 的实心圆柱体，半径R=0.15m ，只能绕过中心O 的水平固定轴转动，一轻绳的一端绕于圆柱上，另一端系一质量为m=8kg 的物体，忽略轴处摩擦及其它阻力，求：（1）绳的张力(圆柱体的转动惯量212I MR =)； （2）由静止开始经2S 后物体下落的距离。