第2章 静电场(二)2.1 静电场的唯一性定理及其应用静电场中的待求量：电场强度E ，静电力F 。

静电场求解方法：(1) 直接由电场强度公式计算；(2) 求解泊松方程(或拉普拉斯方程)→电位→电场强度E 。

E ⇒-∇=⇒-=∇ϕϕερϕE 2唯一性定理的重要意义：确定静电场解的唯一性。

2.1.1 唯一性定理静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的。

2.1.2 导体边界时，边界条件的分类(1) 自然边界条件：有限值参考点=∞→ϕr r lim(相当于指定电位参考点的值)(2) 边界衔接条件：σϕεϕεϕϕ=∂∂-∂∂=nn 221121(该条件主要用于求解区域内部)(3) 导体表面边界条件(a) 给定各导体表面的电位值。

(第一类边界条件) (b) 导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量。

该条件相当于给定了第二类边界条件。

在求解过程中，可通过积分运算确定任意常数。

S n ∂∂-=ϕεσ，(注：n 的正方向由介质导向导体内部)q dS r S=∂∂-⎰)(11ϕε (c) 给定某些导体表面的电位值及其它每一导体表面的电荷量。

相当于给定了第三类边界条件。

思考？为什么条件(a),或(c)可唯一确定电位函数，而条件(b)确定的电位函数相关任一常数？ 答：边值问题的求解所需的边界条件有：自然边界条件、衔接条件和区域边界条件。

条件(a)，(c)中，同时给定了边界条件和自然边界条件，与条件(2)结合，可唯一地确定场解；而条件(c)没有指定自然边界条件(电位参考点的值)，因而，其解相差一个任意常数。

2.1.3 静电场唯一性定理的意义唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等)提供了思路及理论根据2.1.4 等位面法1 等位面法：静电场中，若沿场的等位面的任一侧，填充导电媒质，则等位面另侧的电场保持不变。

2 等位面法成立的理论解释：等位面内填充导电媒质后，边界条件沿发生变化：(1)边界k 的等位性不变；(2)边界k 内的总电荷量不变。

(相当于给定了第二类边界条件)3 等位面法在解释静电屏蔽现象中的应用现象一、接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场。

解释：边界上电位值不变(给定的第一类边界条件不变)。

现象二、封闭导体无论是否接地，则壳内电场不受壳外电场的影向。

解释：(注意边界正方向的取向)边界S 2为等位面；边界S 2上的总电荷量不变。

2.2 平行双电轴法1 问题的提出：以求无限长双圆柱平输电线周围的电场分布为例。

导体表面的面电荷密度未知，不可能由电场计算公式计算；电场分布不具有对称性，不能用高斯定理求解,用求解泊松方程法，不能给出解析解。

本节从静电场的唯一性定理出发，采用其它求解方法(电轴法)。

2. 两根细导线产生的电场设 电轴上单位长度的电荷量为τ，电位参考点为Q 。

电场分布为平面场，根据叠加原理，11001ln 22C d Q P +-==⎰ρπετρρπετϕ 2202ln 2C +--=ρπετϕC P +=+=12021ln 2ρρπετϕϕϕ说明：式中Q 表示电位参考点。

ρ表示由电荷到P 点的矢径。

以y 轴为参考点, C=0, 则22220120)()(ln 2ln 2yb x y b x P +-++==πετρρπετϕ*确定等位线方程： 常数令：=P ϕ 22222)()(K yb x y b x =+-++ 等位线方程为圆： 222222)12()11(-=+-+-K bKy b K K x圆心的坐标： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=0,)11(22b K K h 圆的半径为：122-=K bK a当K 取不同数值时,就得到一族偏心圆。

a 、h 、b 三者之间的关系满足:222222222)11()12(h b K K b K bK b a =-+=+-=+应该注意到: 线电荷所在的两个点,对每一个等位圆的圆心来说,互为反演。

即 ))((222b h b h b h a -+=-=-- a 为等位线的半径；2b 两电轴间的距离；h 为等位圆圆心到坐标原点的距离。

附： 〖反演〗没C 为一定圆，O 为圆心，r 为半径，对于平面上任一点M ，有一点M ’与它对应，使得满足下列两个条件： (1)O 、M 、M ’共线； (2)OM ·OM ’=r 2；则点M ’称为点M 关于定圆C 的反演点，C 称为反演圆，O 称为反演中心，r 称为反演半径。

M 和M ’的关系是对称的，M 也是M ’的反演点。

M 与M ’的对应称为关于定圆C 的反演。

*确定电力线方程：根据 ϕ-∇=E 及E 线的微分方程为xyE E dx dy =得E 线方程为 4)2(212212Kb K y x +=-+说明：电力线方程表明， E 线为圆，其圆心位于y 轴上。

K 1的不同取值确定不同的电力线。

3 电轴法的基本思想由三个思考题，引出电轴法的解题思想。

(1)若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？ (2)、感应电荷是否均匀分布？(3)、若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。

得出电轴法的思想：电轴法：用置于电轴上的等效线电荷，来代替圆柱导体面上分布电荷,从而求得电场的方法，称为电轴法。

电轴法解题的过程：(1)根据圆柱导体的半径a 和两导体间的距离2h 求出等效电轴的位置b ；(2)设电轴上电荷线密度等于圆柱导体上单位长度的电荷量；(3)由电场计算公式22220120)()(ln 2ln 2yb x y b x P +-++==πετρρπετϕ(0电位参考点位于y 轴)4 例题例1．试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布。

解：(1)建立体系，取0电位参考点(2)确定电轴的位置，22a h b -= (3)计算电场和电位分布：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=120210ln π2)11(π2ρρετϕρρετρρpP 21e e E例2 已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d 的带电长直圆柱导体。

试决定电轴位置。

解：21212222221212,,h h b h h d a h b a h b 确定⎪⎩⎪⎨⎧+=-=-=例3 试确定图示偏心电缆的电轴位置 解：21122222222121,,h h b d h h ba hb a h ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+=例4 已知一对半径为a ,相距为d 的长直圆柱导体传输线之间电压为U 0 ，试求圆柱导体间电位的分布。

解：1 确定电轴的位置 ⎩⎨⎧=-=hd a h b 22222 →22)2(a d b -= 2 设电轴上电荷密度为±τ，任一点的电位为：120ln 2ρρπετϕ=注意：式中的ρ2，ρ1分别为负电轴和正电轴到观察点P 的距离。

3 :0τϕϕ解出由B A U -=)()(ln 2)()(ln 2000a h b a h b a h b a h b U -+------+=πετπετ → )()(ln 2200a h b a h b U ---+=πετ 4 场中任一点的电位为：120ln )()(ln2ρρϕa h b a h b U P ---+=2.3 无限大导电平面的镜象一、镜象法1.平面导体的镜像通过比较两种边值问题的比较引出无限大导体平面的镜象法： (1)点电荷位于无限大导体平面上方，边值问题：02=∇ϕ 除 q 所在点外的区域 0=ϕ 导板及无穷远处⎰=⋅sq d S D S 为包围 q 的闭合面(2)点电荷及其镜象位于两无限大平面两侧，上半空间的边值问题02=∇ϕ 除 q 所在点外的区域04400=-=rq r q πεπεϕ 对称面及无穷远处⎰=⋅sq d S D S 为包围q 的闭合面二、无限大导电平面镜象法的特点用应用 无限大导体平面镜象法的特点：1 镜象电荷位于被研究的场域之外，与场源电荷关于平面对称；2 镜象电荷所带的电量与边界面原来所具有的总电荷量大小相等，符号相同，与场源电荷量大小相等，符号相反；3 被研究场域的边界电位值为0。

三、无限大导电平面的应用1 点电荷对夹角为直角的两相联导电平面的镜象；qq-q-qq2 qq-q-qqq-q -q q3 长直圆柱导体对于导电平面(或地平面)的镜象；hRτ例2-3 架空地线避雷原理。

带电的云与地面之间形成一均匀向下的电场E 0，由于大气电场的影响将导致高度为l 处的高压输电线A 的电位升高。

若在A 的上方架设有架空地线G ，半径为r 0，G 是经过支架接地的，则在架空地线G 上感应出负电荷，地面上感应出正电荷。

将这些感应电荷的电场叠加到大气电场以后可以降低A 处的电位。

试求由于架空地线的屏蔽作用而导致A 处电位的变化。

定性解释：定量计算：设:架空地线上单位长度的感应电荷量为τ，架空地线的半径为r 0，其等效电轴与地线中心重合。

架空地线的电位为：02ln 2000=+hr h E πετ → 地线上单位长度的电荷量: hr hE 2ln 2000πετ-=高压输电线上的电位:hr l h l h h E l E l h l h l E 2ln lnln 200000+--=+-+=πετϕ架设架空地线前后,架空线电位比:hr lh l h l h 2ln ln100+--=ϕϕ当m r m l m h 004.0, 10 ,110===时, %1.610=ϕϕCD2.4 球形导体表的镜象2.4.1 接地导体球对点电荷的镜象设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。

边值问题：2000r ϕϕϕ→∞∇===导球面 (除q 点外的导体球外空间) 设匀镜象电荷q ’位于球内，球面上位一点的电位为0,即：0102'044p q q r r ϕπεπε=-=其中222222122cos 2cos r d R Rd r b R Rb θθ=+-=+-由上式或知，球面上的电位只是b 和θ的函数，位取两θ值，(0，180)则：'0'0q q d R R b q q d R R b ⎧-=⎪⎪--⎨⎪-=⎪++⎩ 得： 2'R b db R q q q d d ===由叠加原理，接地导体球外任一点P 的电位与电场分别为 0102'44p q q r r ϕπεπε=-01211()4q R r d r πε=-⋅1222010244P rr q qRr dr πεπε=-E e e注意：1 镜像电荷等于负的感应电荷（符号与数量均相同），但小于场源电荷量。

2 镜像电荷不能放在当前求解的场域内。

2.4.2 不接地导体球对点电荷的镜象解: 边值问题2000r s Sd ϕϕϕ→∞∇===≠⋅=⎰D S 球面常数在接地球的基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置接地导体球外的•在球内有两个等效镜象电荷。