图3-14 圆球的投影
2.球面上取点 已知球面上点A的正面投影，求水平投影和侧面投影。 用辅助纬圆法作图
a'
A
a"
辅助纬圆
a
(a) 图3-15 球面上取点
(b)
用辅助正平圆作图
a"
a'
A
辅助纬圆
(c)
a
(d)
图3-15 球面上取点
(1) 圆球的投影
(2) 圆球表面上取点
四、不完整曲面立体的投影
s'
m
Z
作图方法2
注意： 分清直线所在表面，求 出与所有棱线的交点。
s' c' S
M
s"
m
a'
s" C O B a" (c")
m
m
b' A
a'
a
m
b'
c'
c
a" (c")
b"
X a
m
b"
s
s b
c
b
(b) 投影
(a) 直观图
2. 棱 锥
(1) 棱锥的投影 s s
S
b’ b s
a’
c’ c b”(c”)
§4.3 切割体的投影
一、切割体及截交线的概念
切割体——基本体被平面截切后的部分 截平面——截切立体的平面 截断面——立体被截切后的断面 截交线——截平面与立体表面的交线 截交线性质： 1.截交线是截平面与立体表面的共有线。 2.截交线是封闭的线条。 3.截交线的形状取决于: ① 立体表面的几何形状 ② 截平面与立体的相对位置
截平面 截交线
平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平 面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交 线上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截平面上 又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以 截交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线或者是由曲 线和直线组成的平面图形或多边形。
截平面
截断面
截交线
图3-19 截交的基本概念
截切： 用平面与立体相交，截去立体的一部分。
截平面 :用以截切物体的平面。 截交线 :截平面与物体表面的交线。 截断面 :因截平面的截切，在物体上形成的平面。
讨论的问题：截交线的分析和作图 。
4.1 平面立体的截切
一、平面立体截切的基本形式
截交线的性质：
a” C A
B
a
(2) 棱锥表面上取点 s s 2 2 r 1
(3) a c
c
3
1 a
b
b r s 1
b(c)
3
2 a
3. 棱锥台
棱锥台——由平行于棱底的平面截去锥顶一部分 形成的立体,顶面与底面是相互平行的相似多边形,各 侧面为等腰梯形。 正棱锥台——由正棱锥截得的棱台。 四棱锥台的投影
母线
轴线
(a)
图3-5 回转体和回转面的形成
(b)
•一动线绕一定线回转一周后形成的曲面称为回转面。 •形成回转面的定线称为轴线,动线称为母线,母线在 回转面上任意位置称为素线。
工程上常见的回转体有圆柱、圆锥、球、圆环等。
(a) 圆柱
(b) 圆锥
(c) 圆球
(d) 圆环
图3-6 常见的回转体
绘制回转体的投影，即是绘制回转体的回转面和 平面的投影，也就是绘制回转体的轮廓线、尖顶 的投影以及转向轮廓线。
转向轮 廓素线
圆锥的投影分析: • 底面的水平投影反映实形 为一圆，正面投影和侧面 投影分别重影为一直线； • 圆锥面的水平投影为一圆， 正面投影和侧面投影分别 画出转向轮廓素线的投影。
图3-11 圆锥的投影
作圆锥投影图
圆锥的投影特性: • 回转轴线用点划线表示； • 水平投影为一圆（底面轮廓 线），无积聚性； • 正面投影和侧面投影为相同的 等腰三角形。
图3-16 不完整曲面立体的投影
图3-10 开槽半圆球
(a) 开槽半圆球；(b) 画槽的底面投影；(c) 画槽的侧面投影
图3-10 开槽半圆球
(a) 开槽半圆球；(b) 画槽的底面投影；(c) 画槽的侧面投影
4.3 平面与立体相交
4.3.1 平面与平面立体相交
4.3.2 平面与曲面立体相交
截交线的概念
(a) 直观图 图3-4 四棱锥台的投影
(b) 投影
小
结
1.平面立体投影的作图可归结为绘制平面 （立体表面）和（棱）线投影的作图。
2.在立体表面上取点、取线的方法与在平 面上取点、取线的方法相同。
——如果点或直线在特殊位置平面内，则作图 时，可充分利用平面投影有积聚性的特点，由 一个投影求出其另外两个投影； ——如果点或直线在一般位置平面内，则需过 已知点的一个投影作辅助线，求出其它投影。
绘制平面立体的投影，即是绘制平面立体上所有平 面的投影，也就是绘制平面立体上各平面间的交线 (棱线)和各顶点(棱线的交点)的投影。 平面体的投影特征：
⑴体的三面投影图之间保持三等关系，适应整体和每一局部。 ⑵体上各组成平面的投影，一般表现为一个封闭的线框，特殊 积聚为一直线。 ⑶投影图上各线框的分界线，表示物体表面发生变化（凹、凸 或转折）
1)在平面立体的每一投影中，其外形轮廓线都是 可见的。 2)在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内的直 线的可见性，相交时可利用交叉两直线的重影点来 判别。 3)在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内，若 多条棱线交于一点，且交点可见，则这些棱线均可 见，否则均不可见。 4)在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内，两 可见表面相交，其交线为可见。两不可见表面的交 线为不可见。
4.1.1 三面投影与三视图
Z
主视图
左视图
X
俯视图
O
YW
YH
三视图的位置关系和投影规律
上 高 上
左
下 长 后 左
右
后 下 宽
前
右
宽
前
主、俯视图 主、左视图 俯、左视图
长对正 高平齐 宽相等
§4-1 立体及其表面上的点与线
任何机械零件，从几何学角度来分析，它们总可以看作 是由一些简单的几何体组合而成的。所以，我们把这些简单的 几何体称为基本形体。
图3-8 圆柱的投影
2.圆柱面上取点 已知圆柱面上M点和N点的正面投影，求水平投影和侧 面投影。
分析：点在圆柱面上，利 用水平投影积聚性，可以 求出点M和点N的水平投 影。 作图：
(m' ) n'
m" (n")
m
n
图3-9 圆柱面上取点
(1) 圆柱的投影
(2)
圆柱表面上取点 ( )
c”
(D)
C A B
1. 圆 柱
圆柱由圆柱面、顶面、底面所围成。圆柱面可看作直 线绕与它相平行的轴线旋转而成。
一、圆柱-----由圆柱面、顶面、底面围成
圆柱面---一直线绕与它平行 的轴线回转而成。
圆柱立体分析:当圆柱的轴线 是铅垂线时,圆柱面上的 所有素线都是铅垂线,顶 面和底面为水平面。
图3-7 圆柱的形成
1.圆柱的投影
B
C
(a) 直观图
已知六棱柱ABCD侧表面上点M的V面投影m″， 求该点的H面投影m和W面投影m″。
a′
m
b′
m
c′
d′
A M D
B
C
a (d )
m
b (c )
(a) 直观图
(b) 投影图
点的可见性判别： 若点所在平面的 投影可见，点的投影 可见；若平面的投影 积聚成直线，点的投 影也可见。
平面立体投影可见性的判别规律
s' Z
作图:
s′ s"
a'
b' A
c' S
s"
a′ c′ b′ c s
C O
B c b
(a) 直观图
X
a" (c")
a" (c")
b"
b"
a
a
s
Y
图3-3 正三棱锥的投影
b
(b) 投影
2. 棱锥表面上点的投影
已知棱面SAB上点M的正面投影m‘和棱面SAC上点N 的水平投影n，求作M、N两点的其余投影。
2. 圆 锥
圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看作直线绕与它 相交的轴线旋转而成。
二、圆锥----由圆锥面、底面围成
圆锥面---一直线绕与它相 交的轴线回转而成。
圆锥立体分析:当圆锥的轴 线是铅垂线时,底面为 水平面，圆锥面上的所 有素线都是通过锥顶的 直线。
图3-10 圆锥的形成
1.圆锥的投影
1. 棱柱的投影
1. 棱柱的投影
分析:正六棱柱由顶面、底面和六个侧棱面组成。正六棱
柱的顶面、底面为水平面，在俯视图中反映实形。 作图:
(a) 直观图 图3-2 正六棱柱的投影
(b) 投影图
2. 棱柱表面上点的投影
由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取 点与在平面上取点的方法相同。
A M D
二、 棱锥
棱锥——底面是多边形，各侧面为若干具有公共顶点 的三角形。 正棱锥——底面为正多边形,各侧面是全等的等腰三角 形的棱锥。
1. 棱锥的投影
Sห้องสมุดไป่ตู้
A B
C
1. 棱锥的投影
分析:正三棱锥由底面和三个侧棱面组成。正三棱锥的底面为水平面， 在俯视图中反映实形。后侧棱面为侧垂面，在左视图中积聚为一斜线。 左、右侧棱面是一般位置平面，在三个投影面上的投影为类似形。
转向轮 廓素线